z)，
uuur??n·BF＝0，则?uuur?n·EF＝0.?
?－3y＋6z＝0，
即?
?3x－26z＝0，
令z＝6，则n＝(4,2，6)．由题意知AC⊥平面BDE，
uuuruuur所以CA为平面BDE的法向量，CA＝(3，－3,0)．
uuuruuurn·CA613
uuur＝所以cos〈n，CA〉＝＝.
1332×26|n||CA|故由题意知平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值为
13
. 13
8．如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值．
解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则
uuuurA(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以A1Buuuur＝(2,0，－4)，C1D＝(1，－1，－4)．
uuuuruuuuruuuuruuuurA1B·C1D18310
uuuruuuur＝因为cos〈A1B，C1D〉＝u＝，
1020×18| A1B||C1D|310
所以异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值为.
10
uuuruuuur(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD＝(1,1,0)，AC1＝(0,2,4)，所uuuruuuur以n1·AD＝0，n1·AC1＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所
以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1的夹角的大小为θ.
?n1·n2?＝2＝2，得sin θ＝5.
由|cos θ|＝??3?|n1||n2|?9×13
因此，平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值为
5. 3
第二课时 直线与平面的夹角
[对应学生用书P37]
在上节研究的山体滑坡问题中，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离分别为AC和BD，直线BD与地面ACD的夹角为φ.
uuuruuur问题1：φ与〈CA，DB〉有什么关系？
uuuruuur提示：φ＝π－〈CA，DB〉．
uuur问题2：φ与〈BD，n〉有何关系？(n为地面法向量)
uuuruuuruuurππ
提示：φ＝－〈BD，n〉或φ＝〈BD，n〉－，即sin φ＝|cos〈BD，n〉
2
2
|.
直线与平面的夹角
(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角． π
(2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为.
2
(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0. (4)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，l与α的夹角为θ，则， ππ
当〈a，n〉≤时，θ＝－〈a，n〉；
22ππ
当〈a，n〉>时，θ＝〈a，n〉－.
22即sin〈a，n〉＝|cos〈a，n〉|.
?π?(1)直线与平面夹角范围是?0，?；
2??
(2)求直线与平面夹角θ时，可用定义求解；也可用直线的方向向量s、平面的法向量
n的夹角进行求解，但要注意sin θ＝|cos〈s，n〉|.
[对应学生用书P37]
求直线与平面的夹角
[例1] (新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C 与平面BB1C1C的夹角的正弦值． [思路点拔]
(1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．
[精解详析] (1)如图，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．
uuuruuur以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建
立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)，
uuuruuuuruuuuruuuur则BC＝(1,0，3)，BB1＝AA1＝(－1，3，0)，A1C＝(0，－3，3)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
uuur??n·BC＝0，
uuuur则???n·BB1＝0，
??x＋3z＝0，
即?
?－x＋3y＝0.?
可取n＝(3，1，－1)，
uuuur故cosn，A1Cuuuurn·A1C10
uuuur＝－＝.
5|n||A1C|10
. 5
所以A1C与平面BB1C1C的夹角的正弦值为[一点通]
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，直线l与平面α所成的角为θ，a|a·u|
与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝或cos θ＝sin φ，其中θ与φ满足：
|a||u|ππ
①当φ是锐角时，θ＝－φ；②当φ为钝角时，则θ＝φ－.
22
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC81与平面ABCD夹角的余弦值为( ) A.C.
3
36 2
B.D.3 66 3
解析：如图所示建系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，
C1(0,1,1)，C(0，1,0)，
而CC1⊥面ABCD，
∴AC1在底面ABCD的射影为AC.
uuuruuuur又AC1＝(－1,1,1)，AC＝(－1,1,0)，
∴AC1与平面ABCD夹角的余弦值
ruuuuruuu6
cos θ＝|cos〈AC1，AC〉|＝.
3
答案：D
2．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C夹角的正弦值为________．
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