2017-2018学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算教学案北师大版选修2-1

解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝2，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，

B(3，0,0)，C1(0,1，2)，

1?3?，－，2?.

2?2?uuuruuur?31uuuur?易知AB＝(3，1,0)，AC1＝(0,2，2)，AD＝?，，2?.

?22?

D?

设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

uuur??n·AB＝3x＋y＝0，

uuuur则有???n·AC1＝2y＋2z＝0，

解得x＝－

3

y，z＝－2y. 3

故可取n＝(1，－3，6)．

uuuruuurn·AD2310

uuur＝AD所以cos〈n，〉＝＝.

510×3|n||AD|即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为

10

. 5

8．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，

AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．

(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；

6

(2)若直线AA1与平面AB1C夹角的正弦值为，求k的值．

7解：(1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图．

∵AB∥DE，AB＝DE＝3k， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.

在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k， ∴BE＋CE＝BC，

∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD. 又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.

∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD， ∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A， ∴CD⊥平面ADD1A1.

2

2

2

ruuuuuuuruuur(2)以D为原点，DA，DC，DD1的方向为x，y，z轴的正

方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，

uuuruuuuruuuur∴AC＝(－4k,6k,0)，AB1＝(0,3k,1)，AA1＝(0,0,1)．

设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，

uuur??AC·n＝0，

uuur则由?u?? AB1·n＝0，

??－4kx＋6ky＝0，

得?

?3ky＋z＝0.?

取y＝2，得n＝(3,2，－6k)． 设AA1与平面AB1C的夹角为θ，则

uuuur?uuuurAA1·n?6k6?uuuur?＝sin θ＝|cos〈AA1，n〉|＝＝，解得k＝1， 2?| AA|n|?736k＋131??故所求k的值为1.