数学分析19.1含参量积分之含参量正常积分(含练习及答案)

第十九章 含参量积分 1含参量正常积分

概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=?cf(x,y)dy, x∈[a,b].

2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y≤d(x), a≤x≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x值，f(x,y)作为y的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=?c(x)f(x,y)dy, x∈[a,b].

3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x的(正常)积分，或简称含参量积分.

定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=?cf(x,y)dy在[a,b]上连续.

证：设x∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x∈[a,b] (若x为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=?c[f(x??x,y)?f(x,y)]dy.

∵f(x,y)在有界闭域R上连续，从而一致连续，即?ε>0, ?δ>0, 对R内任意两点(x1,y1)与(x2,y2),

只要|x1-x2|<δ, |y1-y2|<δ, 就有|f(x1,y1)-f(x2,y2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤?cddddd(x)|f(x??x,y)?f(x,y)|dy

cd

注：1、同理：若f(x,y)在R上连续，则含参量y的积分ψ(y)=?af(x,y)dx在[c,d]上连续.

2、若f(x,y)在R上连续，则对任何x0∈[a,b], 有

x?x0cblim?df(x,y)dy=?limf(x,y)dy.

cx?x0d

定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y≤d(x), a≤x≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G上连续，则函数F(x)=?c(x)f(x,y)dy在[a,b]上连续.

证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y∈[c(x),d(x)],∴t∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt, ∴F(x)=?c(x)f(x,y)dy =?0f(x,c(x)?t(d(x)?c(x)))(d(x)?c(x))dt. 由 被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知, F(x)在[a,b]上连续.

定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数

dd(x)d(x)1?f(x,y)都在矩形区域 ?xR=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=?cf(x,y)dy在[a,b]上可微, 且

d?ddf(x,y)dy=?f(x,y)dy. c?xdx?c证：设任一x∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x∈[a,b] (若x为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则

?(x??x)??(x)?x=?cdf(x??x,y)?f(x,y)dy. 由拉格朗日中值定理及

?xfx(x,y)在有界闭域R上连续(从而一致连续), ?ε>0, ?δ>0, 只要|△x|<δ,

就有∴

f(x??x,y)?f(x,y)?fx(x,y)=|fx(x+θ△x,y)-fx(x,y)|<ε, θ∈(0,1).

?xdf(x??x,y)?f(x,y)d???fx(x,y)dy<ε(d-c). 即 ??fx(x,y)dy≤?c?x?xcd?dd对一切x∈[a,b], 有?cf(x,y)dy=?cf(x,y)dy.

dx?x

定理19.4：(可微性)设f(x,y), fx(x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=?c(x)f(x,y)dy在[a,b]上可微，且F’(x)=?c(x)fx(x,y)dy+f(x,d(x))d’(x)-f(x,c(x))c’(x). 证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=?cf(x,y)dy, c=c(x), d=d(x). 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：

F’(x)=Hx+Hcc’(x)+Hdd’(x)=?c(x)fx(x,y)dy+f(x,d(x))d’(x)-f(x,c(x))c’(x).

定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则 φ(x)=?cf(x,y)dy和ψ(y)=?af(x,y)dx分别在[a,b]和[c,d]上可积.

注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：

?df(x,y)dy?dx与d?bf(x,y)dx?dy,或bdxdf(x,y)dy与ddybf(x,y)dx.

?a?c?c?a?a??c?????c???a?bddd(x)d(x)d(x)b它们统称为累次积分，或二次积分.

定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则

?badx?f(x,y)dy=?dy?f(x,y)dx.

ccauddb证：记φ1(u) =?adx?f(x,y)dy, φ2(u) =?dy?f(x,y)dx, u∈[a,b], 则

ccadduudduφ1’(u)=?c?(x)dx=φ(u). 令H(u,y)=?af(x,y)dx, 则φ2(u) =?cH(u,y)dy,

du∵H(u,y)与Hu(u,y)=f(u,y)都在R上连续， ∴φ2’(u)=

ddddf(u,y)dy=φ(u). H(u,y)dy==H(u,y)dyu???cccdu∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k为常数). 当u=a时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u∈[a,b]. 取u=b, 证得：?adx?cf(x,y)dy=?cdy?af(x,y)dx.

dx.

a?01?x2?a21?adx1解：记φ(a)=?a, ∵a, 1+a, 都是a和x的连续函数, 22221?x?a1?x?a1dx?由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴lim?(a)=φ(0)=?0=. 2a?041?xbddb例1：求lim?a1?a

例2：设f(x)在x=0的某个邻域U上连续, 验证当x∈U时, 函数

x1(n)n?1(x?t)f(t)dtφ(x)=的各阶导数存在, 且φ(x)=f(x).

(n?1)!?0证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数Fx(x,t)在U上连续,由定理19.4可得:

x11n?2(n?1)(x?t)f(t)dt(x?x)n?1f(x) φ’(x)=+?(n?1)!0(n?1)!xx11n?2n?3(x?t)f(t)dt(x?t)f(t)dt. . 同理φ”(x)=??00(n?2)!(n?3)!x1n?k?1(x?t)f(t)dt.

(n?k?1)!?0=

如此继续下去，求得k阶导数为φ(k)(x)=

x当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=?0f(t)dt. ∴φ(n)(x)=f(x).

例3：求I=?01xb?xadx. (b>a>0) lnx