第1章 直角三角形
1．1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第1课时 直角三角形的性质和判定
1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)
2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)
一、情境导入
在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．
二、合作探究
探究点一：直角三角形两锐角互余
如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于( )
A．110° B．100° C．80° D．70°
解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF
＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.
方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．
探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形
如图所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E，求证：△EOF是
直角三角形．
解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF是直角三角形，只需证∠E＋∠F＝90°即可，而∠E11
＝(180°－∠BCD)，∠F＝(180°－∠ABC)，由AB∥CD可知∠ABC＋∠BCD＝22180°，即问题得证．
1
证明：∵∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋∠ABF＝180°，∴∠F＝(180°－
211
∠ABF)．同理，∠E＝(180°－∠ECD)．∴∠E＋∠F＝180°－(∠ABF＋
221
∠ECD)．∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠ECD＝180°.∴∠E＋∠F＝180°－×180°＝
290°，∴△EOF是直角三角形．
方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．
探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
1
解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，
2
DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．
11
(1)解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝
2211
5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4
22＋4＝18；
(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E是AD的垂直平分线上的点，F是AD的垂直平分线上的点，∴EF垂直平分AD.
方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．
探究点四：直角三角形性质的综合运用
【类型一】 利用直角三角形的性质证明线段关系 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，
交BC于F，交AB于点E.求证：FC＝2BF.
12
解析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接
AF，得到△AFB为等腰三角形．又可求得∠B＝∠C＝∠BAF＝30°，进而求得∠FAC＝90°.取CF的中点M，连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行证明．
证明：如图，取CF的中点M，连接AF、AM.∵EF是AB的垂直平分线，∴AF1
＝BF.∴∠BAF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠BAF＝∠C＝(180°
2－120°)＝30°.∴∠FAC＝∠BAC－∠BAF＝90°.在Rt△AFC中，∠C＝30°，M
1
为CF的中点，∴∠AFM＝60°，AM＝FC＝FM.∴△AFM为等边三角形．∴AF＝AM211
＝FC.又∵BF＝AF，∴BF＝FC，即FC＝2BF. 22
方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．
【类型二】 利用直角三角形的性质解决实际问题
如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角
三角形的直角顶点A、B、C、D处，球放在EF的中点O处，则游戏________(填“公平”或“不公平”)．
解析：游戏是否公平就是判断点A、B、C、D到点O的距离是否相等．四个直角三角形有公共的斜边EF，且O为斜边EF的中点．连接OA、OB、OC、OD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA＝OB＝OC＝OD1
＝EF，即点A、B、C、D到O的距离相等．由此可得出结论：游戏公平． 2
方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题．
【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题 如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点． (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的数量关系；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM.请判断△OMN的形状，并证明你的结论．
1
解析：(1)由于△ABC是直角三角形，O是BC的中点，得OA＝OB＝OC＝BC；
2(2)由于OA是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO＝∠B＝∠45°，OA＝OB，又AN＝MB，所以△AON≌△BOM，所以ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，于是有∠NOM＝∠AOB＝90°，所以△OMN是等腰直角三角形．
1
解：(1)连接AO.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为BC的中点，∴OA＝BC2＝OB＝OC，即OA＝OB＝OC；
(2)△OMN是等腰直角三角形．理由如下：∵AC＝BA，OC＝OB，∠BAC＝90°，1
∴OA＝OB，∠NAO＝∠CAB＝∠B＝45°，AO⊥BC，又AN＝BM，∴△AON≌△BOM，
2∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，∴∠NOA＋∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，∴∠NOM＝∠AOB＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．
方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余．
三、板书设计 1．直角三角形的性质
性质一：直角三角形的两锐角互余；
性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．直角三角形的判定
方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形； 方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形．
通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的
中点利用中线这一性质解决问题．在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点.
第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用
1．理解并掌握含30°锐角的直角三角形的性质；(重点) 2．能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．
二、合作探究
探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm，那么腰上的高是________cm，
这个三角形的面积是________cm2.
解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，11
所以BD＝2cm，S△ABC＝AC·BD＝×4×2＝4(cm2)．故答案为2，4.
22
方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．
探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
1
如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝BC，求∠DAC2
的度数．
解析：根据题意得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，进而可得出结论． 1
解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴
2∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.
方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解．
探究点三：含30°锐角的直角三角形性质的应用
如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向；
该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间．
解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．
解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝60°，∠BDC＝90°－30°＝60°.∴∠
BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形．在△ABD中，∵∠BAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴∠ABC＝30°.1
∵BC＝20海里，∴CD＝BD＝20海里．又∵BD＝AD，∴AD＝40海里．∴AC＝AD2－CD＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间2040
为＝2(h)，从A处到D处的时间为＝4(h)．∴轮船到达C处的时间为13时101030分，到达D处的时间为15时30分．
方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．
三、板书设计
1．含30°锐角的直角三角形的性质
(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；
(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
2．含30°锐角的直角三角形的性质的应用．
在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.
1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1课时 勾股定理
1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点) 2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点) 3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究 探究点一：勾股定理
【类型一】 直接运用勾股定理
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长； (2)S△ABC； (3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据
CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB－BC＝12(cm)；
11
(2)∵S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝30(cm2)；
22
11AC·BC60
(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝(cm)．
22AB13
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长． 解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论． 解：此题应分两种情况：
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2
＝152－122＝9，在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
2
2
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2
＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周长为32或42.
方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．
【类型三】 勾股定理与等腰三角形的综合 如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线分别交BC、
AB于D、F点，BD＝62，AE⊥BC于E，求AE的长．
解析：欲求AE，需与BD联系，连接AD，由线段垂直平分线的性质可知AD＝BD.可证△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的长．
解：如图所示，连接AD.∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝62，∴∠BAD＝∠B＝22.5°.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，62∴AE＝DE.由勾股定理得AE＋DE＝AD，∴2AE＝(62)，∴AE＝＝6.
2
2
2
2
2
2
方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．
探究点二：勾股定理与图形的面积
探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形
AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图：
任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示
再写一种证明勾股定理的方法吗？
解析：方法1：根据四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．
11
解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，
22整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；
方法2：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD1111
＋S△BCD，即b2＋ab＝c2＋a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2
2222＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.
方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．
三、板书设计 1．勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 2．勾股定理的应用 3．勾股定理与图形的面积
课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.
第2课时 勾股定理的实际应用
1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点) 2．勾股定理的正确使用．(难点)
“
一、情境导入
如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
二、合作探究
探究点一：勾股定理在实际生活中的应用 【类型一】 勾股定理在实际问题中的简单应用
如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳
子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)?
解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC、
AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．
解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米，6秒后，BC＝13－0.5×6＝10米，则AB＝BC2－AC2＝53米，则船向岸边移动距离为(12－53)米．
方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．
【类型二】 含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用 由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，
今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以107km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区
“
域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A市受沙尘暴影响的时间．
解析：过点A作AC⊥BF于C，然后求出∠ABC＝30°，再根据直角三角形1
30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝AB，从而判断出A市受沙尘暴影
2响，设从D点开始受影响，此时AD＝200km，利用勾股定理列式求出CD的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．
解：如图，过点A作AC⊥BF于C，由题意得，∠ABC＝90°－60°＝30°，11
∴AC＝AB＝×300＝150(km)，∵150＜200，∴A市受沙尘暴影响，设从D点开
22始受影响，则AD＝200km.由勾股定理得，CD＝AD2－AC2＝2002－1502＝507(km)，∴受影响的距离为2CD＝1007km，受影响的时间位1007÷107＝10(h)．
方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．
探究点二：勾股定理在几何图形中的应用 【类型一】 利用勾股定理解决最短距离问题
如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
解：分三种情况比较最短距离：
“
如图①(将正面与上面展开)所示，AM＝10＋（20＋5）＝529，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM＝（20＋10）2＋52＝537(cm).537＞25，∴最短距离为25cm.
答：需要爬行的最短距离是25cm.
22
方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
【类型二】 运用勾股定理与方程解决有关计算问题 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )
A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
解析：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△
MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.
“
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．
【类型三】 勾股定理与数轴 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A.5＋1 B．－5＋1 C.5－1 D.5
解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
三、板书设计
1．勾股定理在实际生活中的应用 2．勾股定理在几何图形中的应用
就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高.
第3课时 勾股定理的逆定理
1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点) 2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．(难点)
一、情境导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．
你知道这是什么道理吗？ 二、合作探究
探究点一：勾股定理的逆定理 【类型一】 勾股数 判断下列几组数中，一定是勾股数的是( )
A．1，2，3 B．8，15，17 34
C．7，14，15 D.，，1
55
解析：选项A不是，因为2和3不是正整数；选项B是，因为82＋152＝172，3且8、15、17是正整数；选项C不是，因为7＋14≠15；选项D不是，因为与
5
2
2
2
4
不是正整数．故选B. 5
方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
【类型二】 判断三角形的形状 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2
＝0.试判断△ABC的形状．
解析：可先确定a，b，c的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断． 解：由平方数的非负性，得a－7＝0，b－24＝0，c－25＝0.∴a＝7，b＝24，
c＝25.又∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．
方法总结：此题主要依据“若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”这一性质来确定a，b，c的值．该知识点在解题时会经常用到，应注意掌握．
【类型三】 利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题
在如图的方格中，△ABC的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形
ABC的外角∠ACD的度数等于( )
A．130° B．135° C．140° D．145°
解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋90°＝135°.故选B.
方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形中两直角边相等．
【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝
26，求四边形ABCD的面积．
解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．
解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82
＋62＝102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S11＝×6×8＋×10×24＝144. △ACD22
方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．
探究点二：勾股定理逆定理的实际应用
如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，
上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海．
解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE即为走私艇所走的路程，可知，△ABE和△EBC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．
解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°，∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国1160
领海的最短距离是CE，由S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，得BE＝(海里)，由CE2
2213＋BE2＝BC2，即CE2＋(
602144144144
)＝122，得CE＝(海里)，∴÷13＝≈0.85(h)131313169
＝51(min)，9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．
方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形．
三、板书设计 1．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
2．利用勾股定理逆定理求角和线段的长 3．利用勾股定理逆定理解决实际问题
学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高.
1．3 直角三角形全等的判定
1．熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；(重点)
2．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．(难点)
一、情境导入
前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS.当然这些方法也适用于判定两个直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判定还有其他的方法吗？
二、合作探究
探究点一：运用“HL”判定直角三角形全等
如图所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD交CE于点F，AD＝EC.求证：FA＝FC.
解析：要利用“等角对等边”证明FA＝FC，需先证∠FAC＝∠FCA，此结论可由三角形全等得到．
证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDA?EC＝AD，中?∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC. ?CA＝AC，
方法总结：在运用HL判定两个直角三角形全等时，要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．
探究点二：直角三角形判定方法的灵活应用 【类型一】 解决线段相等问题 已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、
F.求证：CE＝DF.
解析：根据已知条件证明现有的Rt△ABC与Rt△BAD全等，得出线段和角相等，再证Rt△ACE和Rt△BDF全等，从而解决问题．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD?AB＝BA，中，?∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，∵CE⊥AB，
?BC＝AD，
?∠CEA＝∠DFB＝90°，
DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°，在△CAE和△DBF中，?∠CAE＝∠DBF，
?AC＝BD，
∴△CAE≌△DBF(AAS)，∴CE＝DF.
方法总结：一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL”．
【类型二】 灵活选用判定方法解决线段和差问题 已知，如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，且
B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE＋CE.
解析：先证△ABD≌△ACE，再根据等量代换得出结论．
证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD，∴∠ABD＝∠CAE，又∵AB＝CA，∴△
ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE.
方法总结：当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．
探究点三：利用尺规作直角三角形
已知：线段a，如图．
3
求作：Rt△ABC，使BC＝a，AB＝a，∠C＝90°.
2
解析：已知直角三角形的斜边和一条直角边，先考虑作出直角，然后截取直角边，再作出斜边即可．
解：作法：如图所示，(1)作l2⊥l1于点C；
(2)在l1上截取CB＝a；
3
(3)以点B为圆心，以a的长为半径画弧，交l2于点A；
2(4)连接AB，Rt△ABC即为所求．
方法总结：尺规作图时，应养成先画草图的习惯，再根据草图分析作图的
先后顺序．
三、板书设计 1．斜边、直角边定理
斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL”) 2．直角三角形判定方法的灵活应用
使用“HL”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四种方法的区别，是学生很容易犯的错误，同时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要注重培养他们的动手操作能力.
1．4 角平分线的性质
1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)
2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)
一、情境导入
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等 【类型一】 利用角平分线的性质求线段长 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，
DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．
解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm.
方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
【类型二】 利用角平分线的性质求面积 如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.
若AB＝18cm，BC＝12cm，DE＝2.4cm，求△ABC的面积．
解析：根据角平分线的性质得到DE＝DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形，分别求出它们的面积再求和．
1
解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝BC·DF2111
＋AB·DE＝(BC＋AB)·DE＝×30×2.4＝36(cm2)． 222
方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利
用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．
【类型三】 利用角平分线的性质进行证明
如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD，
求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.
解析：过点P作PE⊥BA，根据已知条件得Rt△BPE≌RtBPD，再根据AB＋BC＝2BD得AE＝CD，可证Rt△APE和RtPDC，可得∠PCD＝∠PAE，根据邻补角互补可得∠BAP＋∠BCP＝180°.
证明：过P作PE⊥AB，交BA的延长线于E.∵PD⊥BC，∠1＝∠2，∴PE＝?PE＝PD，
PD，在Rt△BPE和Rt△BPD中，?∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL)，∴BE＝
?BP＝BP，
BD.∵AB＋BC＝2BD，BC＝CD＋BD，AB＝BE－AE，∴AE＝CD.∵PE⊥BE，PD⊥BC，
?PE＝PD，
∴∠PEA＝∠PDC＝90°.在△PEA和△PDC中，?∠PEB＝∠PDC，
?AE＝CD，
∴△PEA≌△PDC(SAS)，∴∠PCD＝∠PAE.∵∠BAP＋∠EAP＝180°，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.
方法总结：题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线题目中常见的辅助线．
探究点二：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
如图所示，在△ABC中，PD垂直平分BC，PM⊥AB于点M，PN⊥AC交AC的延长线于点N，且BM＝CN.求证：∠1＝∠2.
解析：先根据中垂线性质得出PB＝PC，再根据HL证Rt△PBM≌Rt△PCN，再根据角平分线性质的逆定理得出结论．
证明：连接PB、PC.∵PD垂直平分BC，∴PB＝PC.∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴∠
PMB＝∠PNC＝90°.在Rt△PBM与Rt△PCN中，∵PB＝PC，BM＝CN，∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)．∴PM＝PN.∴点P在∠BAC的平分线上，即∠1＝∠2.
方法总结：证明一条射线是角的平分线有两种方法：一是利用三角形全等证明；二是利用角平分线性质定理的逆定理证明．显然，方法二比方法一更简捷，在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步：一是找出或作出射线上的一点到角两边的垂线段；二是证明这两条线段相等．
探究点三：角平分线的性质和判定的综合应用
如图所示，在△ABC外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且使它们
的顶角∠DAB＝∠EAC，连接BE、CD相交于P点，AP的延长线交BC于F点，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以说明．
解析：首先猜想∠BPF＝∠CPF，即∠DPA＝∠EPA，显然这两个角所在的三角形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来求解．
解：∠BPF＝∠CPF，理由如下：过A点作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N.∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△BAE和△DAC?AB＝AD，
中，?∠BAE＝∠DAC，
?AE＝AC，
1
∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC，S△BAE＝S△DAC.∵AM⊥DC，AN⊥BE，∴BE·AN21
＝DC·AM，∴AN＝AM，∴PA平分∠DPE，∴∠DPA＝∠APE.又∵∠DPA＝∠CPF，2
∠EPA＝∠BPF，∴∠BPF＝∠CPF.
方法总结：证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等
角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定．
探究点四：利用角平分线的性质作图
如图所示，一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过，一
工厂在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口300m，并且工厂到铁路与公路的距离相等．请在图上标出工厂的位置，并说明理由(比例尺为1∶20000)．
解：画出∠AOB的平分线OC，在射线OC上量出表示实际距离300m长度的1
图上距离线段OP，OP＝300×＝0.015(m)＝1.5(cm)．
20000
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点P即是工厂在图中的位置．
方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运用数学知识来解决．
三、板书设计
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程.
第2章 四边形
2．1 多边形 第1课时 多边形的内角
1．了解多边形及其相关概念；
2．熟练运用多边形内角和公式进行简单计算．(重点)
一、情境导入
小学时我们学习过多边形，对它有了初步的了解．什么是多边形的内角，外角，对角线，如何计算对角线的条数，如何用字母表示它；三角形的内角和是180°，你想知道任意一个多边形的内角和是多少度吗？今天，我们就来探究一下多边形的内角和如何计算．
二、合作探究
探究点一：多边形及其有关概念 【类型一】 多边形的定义及概念 下列说法中，正确的有( )
(1)三角形是边数最少的多边形；
(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形； (3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角； (4)多边形分为凹多边形和凸多边形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：(2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在同一直线上”的线段；其二，是“平面图形”；其三，“线段首尾顺次相接”；(3)n边形的边数和顶点
数、内角的个数都是一样的，即有n条边(或n个顶点或n个内角)就叫n边形．故(2)和(3)的说法不正确．因此，只有(1)、(4)的说法正确，故选B.
方法总结：理解多边形的概念需注意：(1)线段必须“不在同一直线上”且首尾顺次相连；(2)必须是“平面图形”；(3)n为边数，为不小于3的正整数．
【类型二】 多边形的对角线 若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则
此多边形的边数为________． 解析：可以设这个多边形有n个顶点，则就有n条边，过一个顶点可以引出(n－3)条对角线．故n＝2(n－3)，即n＝6.故答案为6.
方法总结：①n边形中，过一个顶点可引(n－3)条对角线；②一个n边形总共有
n（n－3）
2
条对角线．
探究点二：多边形的内角和
【类型一】 已知边数或对角线条数求内角和 一个多边形共有的对角线条数是它的边数的3倍，这个多边形的内角
和是多少度？
解析：先求出多边形的边数，再根据边数来求内角和． 解：设这个多边形的边数为n，由题意得
n（n－3）
2
＝3n，所以n－3＝2×3，
所以n＝9，所以(n－2)·180°＝(9－2)×180°＝1260°，所以这个多边形的内角和为1260°.
方法总结：n边形的对角线条数为
n（n－3）
2
，利用对角线条数的计算方法，知道多边形的边数或对角线条数其中一个，即可求出另一个数．
【类型二】 已知内角和求边数 已知两个多边形的内角和为1080°，且这两个多边形的边数之比为
2∶3，求这两个多边形的边数．
解析：利用内角和公式，根据已知条件建立等量关系即可求解．
解：设这两个多边形的边数分别为2x和3x.由题意，得(2x－2)·180°＋
(3x－2)·180°＝1080°.解得x＝2.故这两个多边形的边数分别是4和6.
方法总结：运用多边形的内角和公式，建立方程模型来求多边形的边数是比较常用的方法．
【类型三】 少加的内角 如图所示，回答下列问题：
(1)小华是在求几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？
解析：由多边形内角和公式(n－2)·180°知，多边形的内角和是180°的整数倍，而1125÷180的余数为45，这说明小华少加了一个135°的角．
11
解：(1)因为1125÷180＝6，∴n－2≥6，n为整数，∴n－2＝7，n＝9，
44故小华求的是九边形的内角和；
(2)因为1125÷180的余数为45，故小华少加的那个内角度数为180°－45°＝135°.
【类型四】 求不规则多边形的内角和 如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．
解析：已知图形为不规则的图形，我们可尝试将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解，如果连接BF，则可得到一个五边形，借助五边形的内角和可解决问题．
解：如图所示，连接BF，则∠A＋∠G＋∠1＝∠2＋∠3＋∠4.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E＝(5－2)×180°＝540°.
方法总结：求不规则多边形的内角和时，通过添加辅助线将其转化为规则
图形，是解答此类题目最常用的方法．
三、板书设计
1．多边形的定义及相关概念 2．多边形的对角线总条数的计算公式
n（n－3）
2
(n为边数)
3．多边形的内角和公式：(n－2)·180°
教学过程中，要让学生学会由特殊的图形推导出一般图形的相关性质，这是我们数学学习中经常会运用的基本能力，所以我们平时就应该有意识的培养学生这方面的能力.
第2课时 多边形的外角
1．理解和掌握多边形外角和定理的推导过程；(重点) 2．了解四边形的不稳定性及在生活和生产中的利与弊； 3．多边形内角和、外角和定理的综合运用．(难点)
一、情境导入
清晨，小明沿一个五边形广场的周围小跑，按逆时针方向跑步． (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们．
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
二、合作探究
探究点一：多边形的外角和定理
【类型一】 利用多边形的外角和定理求不规则图形的角度 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数为( )
A．90° B．180° C．270° D．360°
解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及多边形的外角和即可求解．∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，∠4＝∠G＋∠H，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4，又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°.故选D.
方法总结：本题考查了三角形的外角以及多边形的外角和定理，正确地将所求结论转化为多边形的外角和是解题的关键．
【类型二】 利用四边形的外角和定理解决实际问题 如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右
转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了( )
A．60m B．100m C．90m D．120m
解析：小陈的行走路线围成的图形是一个正多边形，它的每条边长都是5m，每个外角都是20°，所以围成的正多边形的边数是360°÷20°＝18，故小陈行走的总路程为5×18＝90(m)．故选C.
方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用正多边形的外角和定理解题．
【类型三】 多边形内角和与外角和定理的综合运用 下列多边形中，内角和与外角和相等的是( ) A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
解析：根据多边形的内角和为(n－2)·180°，多边形外角和为360°，∴(n－2)·180°＝360°，n＝4.故选A.
方法总结：内角和为(n－2)×180°，而外角和为定值360°，根据两者等量关系求出n值．
探究点二：四边形的不稳定性
如图，有一个四边形钢架，由4条钢管连接而成．为了使这一钢架稳
固，应怎么做？
解析：钢架为四边形形状，因为四边形具有不稳定性，因此不能稳固．若用1条或2条钢管连接对角线，则把这个四边形完全转化为三角形了．而三角形具有稳定性，故钢架可以稳固，因此可以用1条或2条钢管连接对角线，从而使之保持稳固．
解：可以用1条钢管连接AC或BD，或者用2条钢管将AC、BD均连接． 方法总结：利用转化思想，把四边形转化为了三角形，随之四边形的不稳定性也转化成了三角形的稳定性．这种方法在生活、生产中经常使用．
三、板书设计
1．任意多边形的外角和是360° 2．多边形具有不稳定性
通过学生反馈的情况，知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而在求解多边形的角的计算题，有时直接应用外角和计算会比较简单.
2．2 平行四边形 2．2.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角的性质
1．理解平行四边形的概念；(重点) 2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)
3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？
二、合作探究
探究点一：平行四边形的定义
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，从而可以推出AD∥BC，
AB∥CD，再根据平行四边形的定义即可推出结论．
证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．
探究点二：平行四边形的边、角的性质 【类型一】 利用平行四边形的性质求边长 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线
上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF，DE＝AF＝2，∴∠ACB＝∠FEB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF，∴AD＝
BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.故答案为7.
方法总结：平行四边形对边平行且相等，根据该性质可解决和边有关的问题．
【类型二】 利用平行四边形的性质求角度
如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的
度数为( )
A．35° B．55° C．25° D．30°
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A＝∠BCD＝125°.又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝∠ECD＝90°，∴∠BCE＝125°－90°＝35°.故选A.
方法总结：平行四边形对角相等，对边平行，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．
【类型三】 利用平行四边形的性质证明线段相等
如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝
DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，再由等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，即可推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∵DG＝
DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB，∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP?CE＝CF，
＝180°，∴∠ECP＝∠FCP，在△PCF和△PCE中，?∠FCP＝∠ECP，∴△PCF≌
?CP＝CP，
△PCE(SAS)，∴PF＝PE.
方法总结：利用平行四边形的性质可得出相应的等量关系，进而通过证明三角形的全等得出结论．
【类型四】 判断直线的位置关系 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，如图连接DM、
MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线，又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．
解：DM与MC互相垂直，∵M是AB的中点，∴AB＝2AM，又∵AB＝2AD，∴
AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，11
∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD，
2211
∵AD∥BC，∴∠BCD＋∠ADC＝180°，∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90°，
22∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．
方法总结：根据平行四边形对边平行、对角相等，邻角互补等性质再结合三角形全等、等腰三角形的知识可证明线段垂直、平行等问题．
探究点三：两平行线间的距离
如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
1
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，
21
S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面积等于
2△FHO的面积．
方法总结：解题的关键是明确两平行线间的距离相等；同底等高的两个三角形的面积相等．
三、板书设计 1．平行四边形的定义
2．平行四边形的边、角的性质 3．两平行线间的距离
从现实生活中抽象出图形，理解和掌握平行四边形边、角的性质，学生能很好的运用，只是在推理过程中不是很完美，在以后的数学中要根据不同的情况加强这方面的训练.
第2课时 平行四边形的对角线的性质
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点)
2．利用平行四边形对角线的性质解决有关问题．(难点)
一、情境导入
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？
二、合作探究
探究点一：平行四边形的对角线的性质
【类型一】 利用平行四边形对角线的性质求线段长
已知：?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周
长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
解析：平行四边形的周长为60cm，即相邻两边之和为30cm，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，所以由题可知AB比AD长5cm，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵?ABCD的周长为60cm，∴
AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝cm，AD＝BC＝cm. 方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
【类型二】 利用平行四边形对角线的性质证明线段或角相等 352252
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相
交于点E、F，求证：OE＝OF.
解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，
?∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，?OD＝OB，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
?∠FOD＝∠EOB，
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．
【类型三】 判断直线的位置关系 如图平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，再证△BOE≌△DOF，从而得出BE＝DF，∠OEB＝∠OFD，∴
BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，
OB＝OD，在△OFD和△OEB?OE＝OF，中，?OD＝OB，∴△OFD≌△OEB，∴∠OEB＝
?∠DOF＝∠BOE，
∠OFD，BE＝DF，∴BE∥DF.
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果条件中有对角线时，可利用三角形全等解决．
探究点二：平行四边形的面积
在?ABCD中：
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点，求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△
CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
解析：(1)根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO，再根据等底同高的三角形的面积相等解答；
(2)根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底同高的三角形的面积相等解答．
1
(1)证明：在?ABCD中，AO＝CO，设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，
2
S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)解：S△ABP＝S△CBP.在?ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△
11＝BP·h，S＝BP·h，∴S△ABP＝S△CBP. ABP△CBP22
方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．
三、板书设计
1．平行四边形对角线互相平分 2．平行四边形的面积
通过分组讨论学习和学生自己动手操作和归纳，加强学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识更强，与同学交流学习心得的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，促进教学相长.
2．2.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定定理1、2
12
1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点)
2．掌握“对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点) 3．平行四边形判定定理的综合应用．(难点)
一、情境导入
我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就具有如下的一些性质：
1．两组对边分别平行且相等； 2．两组对角分别相等； 3．两条对角线互相平分．
那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？
二、合作探究
探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝
BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．
解：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB，又∵AF＝CE、DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出三角形全等．
探究点二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
解析：在Rt△MON中，由勾股定理建立方程，求出x的值，进而得出四边形PONM各边的长，然后再根据平行四边形的判定定理即可得证．
证明：Rt△MON中，由勾股定理，得(x－5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN.∴四边形PONM是平行四边形．
方法总结：要依据图形的特点及已知条件选择适当的方法来证明一个四边形是平行四边形．
探究点三：平行四边形的判定定理与性质的综合应用 【类型一】 利用性质与判定证明 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点
F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
解析：(1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF，再利用已知得出△ADE≌△BCF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF?∠DFC＝∠BEA，
中，?∠FCD＝∠EAB，∴△ABE≌△CDF(AAS)；
?AB＝CD，
(2)解：四边形BFDE是平行四边形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝
FC，BE＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，
?AD＝BC，
?∠DAE＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边?AE＝FC，
形．
方法总结：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
【类型二】 利用性质与判定计算 如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD＝2cm，BC＝
8cm，AB＝8cm，AF＝5cm.试求此六边形的周长．
解析：由∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，联想到它们的邻补角(即外角)均为60°，如果能够组成三角形的话，则必为等边三角形．事实上，设
BC、ED的延长线交于点N，则△DCN为等边三角形．由∠E＝120°，∠N＝60°，可知EF∥BN.同理可知ED∥AB，于是从平行四边形入手，找出解题思路．
解：延长ED、BC交于点N，延长 EF、BA交于点M.∵∠EDC＝∠BCD＝120°，∴∠NDC＝∠NCD＝60°.∴∠N＝60°.同理，∠M＝60°.∴△DCN、△FMA均为等边三角形．∴∠E＋∠N＝180°.同理∠E＋∠M＝180°.∴EM∥BN，EN∥
MB.∴四边形EMBN是平行四边形．∴BN＝EM，MB＝EN.∵CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，∴CN＝DN＝2cm，AM＝FM＝5cm.∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN＝8＋5＝13(cm)．∴EF＋FA＋AB＋BC＋CD＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39cm.
方法总结：解此题的关键是作辅助线，将“不规则”的六边形变成“规则”的平行四边形，从而利用平行四边形的知识来解决．
三、板书设计
1．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
本节课，学习了平行四边形的两种判定方法，对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.
第2课时 平行四边形的判定定理3
1．掌握平行四边形的判定定理3；(重点)
2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点)
一、情境导入
我们已经学习了哪些平行四边形的判定方法？
平行四边形的对角线互相平分的逆命题是什么？是否是真命题． 是否存在其他的判定方法？ 二、合作探究
探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形
已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、
OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD； (2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，只需证OE＝OF就可以了．
?∠C＝∠D证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D，在△AOC和△BOD中?∠COA＝∠DOB.∴
?AO＝BO△AOC≌△BOD(AAS)；
1
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝OD，
2
OE＝OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO.∴四边形AFBE是平行四边形．
方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°. (1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
12
解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：根据已知条件判定角相等，从而判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．
探究点三：平行四边形性质和判定的综合应用
如图，在?ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF，点G、H分别在AB、
CD上，且AG＝CH，AC与GH相交于点O.求证：
(1)EG∥FH；
(2)EF与GH互相平分．
解析：(1)欲证EG∥FH，需证∠OEG＝∠OFH.欲证∠OEG＝∠OFH，需证∠AEG＝∠CFH，故可先证△AGE≌△CFH；(2)要证EF与GH互相平分，只需证四边形
GFHE是平行四边形即可由其性质得证．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF.又∵AE＝CF，AG＝CH，∴△AGE≌△CHF.∴∠AEG＝∠CFH.∴180°－∠AEG＝180°－∠CFH，即∠OEG＝∠OFH.∴EG∥FH；
(2)连接FG、EH.∵△AGE≌△CHF，∴EG＝FH.又∵EG∥FH，∴四边形GFHE是平行四边形．∴EF与GH互相平分．
方法总结：综合运用平行四边形的性质和判定定理时，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后再根据平行四边形的性质解决有关角相等或互补、线段的相等或倍分、两直线平行等问题．
如图所示，AD、BC垂直且相交于点O，AB∥CD，BC＝8，AD＝6，求AB＋CD的长．
解析：过点C作CE∥AD交BA的延长线于E，根据平行四边形的知识把两条线段转化到一条线段上，然后通过勾股定理求解．
解：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，∵AB∥CD，AD∥CE，∴四边形
AECD是平行四边形，∴AE＝CD，CE＝AD＝6，由CE∥AD得∠BCE＝∠BOA＝90°，∴BE＝BC2＋CE2＝82＋62＝10.∵BE＝AB＋AE＝AB＋CD，∴AB＋CD＝10.
方法总结：求线段长度之和时，如果不能求出各条线段的长度，一般通过作辅助线，将两条线段转化到同一条线段上，再放到一个直角三角形内，利用
勾股定理求解．
三、板书设计
1．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
大部分学生都能根据已知条件判断平行四边形，但对于平行四边形的性质与判定在综合运用过程中所表现出来的灵活度还不够，特别是少数同学还不知从何处着手，在今后的教学中，应适时专项重点强化，使学生不断提高.
2．3 中心对称和中心对称图形 第1课时 中心对称及其性质
1．掌握中心对称和中心对称图形的概念和基本性质；(重点) 2．会运用中心对称的性质作图．(难点)
一、情境导入
剪纸，又叫刻纸，是中国汉族最古老的民间艺术之一，它的历史可追溯到公元6世纪．如图剪纸中两个金鱼之间有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：中心对称的识别
下列各组中的△ABC与△A′B′C′是否成中心对称？
解析：①③中，找不到一个点，使其中一个三角形绕该点旋转180°后与另一个三角形重合，∴△ABC与△A′B′C′不成中心对称；②中，设点C是对称中心，发现CA绕点C旋转180°到达C′A′，CB绕点C旋转180°到达C′B′，点A、B与点A′、B′分别关于点C对称，∴△ABC与△A′B′C′关于点C成中心对称；④中，连接BB′交AC于点O，显然OA绕点O旋转180°能到达OA′，
OB绕点O旋转180°能到达OB′，即点A(C′)、B与点C(A′)、B′分别关于点O对称，∴△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称．
解：①③中的△ABC与△A′B′C′不成中心对称，②④中的△ABC与△A′B′C′成中心对称．
方法总结：确认两个图形关于某点成中心对称的依据是：能否使各个点绕某一点旋转180°到达各自的对应点．如果能，那么这两个图形就关于该点成中心对称，否则就不成中心对称．
探究点二：中心对称的性质
如图，已知△ABC与△DEF是成中心对称的两个图形，试找出它们的对
称中心，并找出图中的等量关系．
解析：因为成中心对称的两个图形可以是其中一个图形绕某一点旋转180°得到，因此对称中心在对称点的连线上，并且到对应点的距离相等．
解：如图，分别连接AD、CF交于点O，点O就是对称中心. 相等的线段：
AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE.相等的角：∠CAB＝∠FDE，∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
方法总结：在成中心对称的两个图形中寻找对称点的规律：①对称点与对
称中心在一条直线上；②对称点分别位于对称中心的两侧；③对称点到对称中心的距离相等．
探究点三：中心对称的作图
按下列要求作一个与图中所示四边形ABCD成中心对称的四边形． (1)以顶点A为对称中心； (2)以BC的中点O为对称中心．
解析：根据中心对称的性质，将四边形各顶点与对称中心连接并延长，使对应线段分别相等，即可找出各顶点的对应点，连接对应顶点得到的即是与已知四边形ABCD成中心对称的四边形．
解：(1)如图①所示； (2)如图②所示．
方法总结：作一个图形关于某点成中心对称的图形，关键是作出已知图形中特殊点的对应点．
三、板书设计 1．中心对称的概念
2．中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分
3．根据性质作图的关键是做出已知图形中特殊点的对应点
通过练习的情况来看，学生对于中心对称的作图掌握较好，解题也相当熟练，而对于中心对称、对称中心等概念的理解上还不透彻，有些模棱两可，在以后的教学中要通过实例或图形不断加以强化.
第2课时 中心对称图形
1．理解和掌握中心对称图形的概念和基本性质；(重点) 2．能利用中心对称图形的性质作图和解决实际问题．(难点)
一、情境导入
1．观察下列三幅图形，看它们有何共同点和不同点？
这三个图形都是绕着中心点旋转一定的角度后能与自身图形重合，它们都是旋转图形；
2．它们旋转的角度一样吗？它们旋转的角度分别是多少？
其中图②的旋转角度是180度，它就是我们今天要探究的图形——中心对称图形．
二、合作探究
探究点：中心对称图形
【类型一】 中心对称图形的识别 下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标
出对称中心．
解析：根据中心对称图形的定义，抓住所给图案的特征，可找出图中的中心对称图形，再标出它们的对称中心．
解：这些图形中：图形①，图形③，图形④，图形⑤，图形⑧为中心对称图形，其对称中心为图形中的点O.
方法总结：识别图形的中心对称性时要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后重合．
【类型二】 补全中心对称图形
在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中
阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是________．
解析：先找到题图中横着的三个阴影正方形的对称中心，即中间的小正方形的中心，根据此中心及中心对称图形的概念，可得到其上面一行的阴影小正方形关于此对称中心对称的图形是标有序号②的小正方形．故答案为②.
方法总结：补全中心对称图形时可先找出部分图形的对称中心，再根据对称中心和中心对称的性质补全其他图形的对称图形．
探究点二：中心对称图形的性质及其应用
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．
(1)画出△ACD关于点D成中心对称的三角形； (2)探究AB＋AC与2AD之间的大小关系； (3)若AB＝3，AC＝5，求AD的取值范围．
解析：通过加倍中线构造中心对称图形，把AB、AC和2AD置于同一个三角
形中，利用三角形三边关系可比较大小，并可利用三角形三边关系求得AD的取值范围．
解：(1)延长AD到E，使DE＝AD.连接BE，则△EBD与△ACD关于点D成中心对称；
(2)AB＋AC>2AD.理由：∵BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ACD≌△EBD，∴BE＝AC.在△ABE中，AB＋BE>AE，即AB＋AC>2AD；
(3)AB＝3，AC＝5，即AB＝3，BE＝5.在△ABE中，∵BE－AB 方法总结：遇到有线段中点的问题时，我们可以考虑先找或构建中心对称图形，然后运用成中心对称的两个图形全等的性质把分散的线段放在一起来解决问题． 三、板书设计 1．中心对称图形的概念 2．中心对称图形的性质 本节课都是让学生自己操作，独立思考进而得出中心对称图形的性质，本节课的练习部分是以生活中最常见的图形为例的，可激发学生的学习兴趣，增强学生的参与意识. 2．4 三角形的中位线 1．了解三角形中位线的定义； 2．掌握三角形的中位线定理；(重点) 3．综合运用平行四边形的判定及三角形的中位线定理解决问题．(难点) 一、情境导入 如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边 AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？ 二、合作探究 探究点：三角形的中位线 【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( ) 3 A. B．3 C．6 D．9 2 解析：如图，∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3，又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.故选C. 方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是熟记性质并熟练应用． 【类型二】 利用三角形中位线定理求角 如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2 的度数为( ) A．80° B．90° C．100° D．110° 解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD，∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠ECD＝∠2＝80°，故选A. 方法总结：根据三角形中位线定理可得出平行关系，所以利用三角形中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题． 【类型三】 运用三角形的中位线定理进行证明 如图所示，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点， AC与BD交于点O，EF分别交AC、BD于M、N.求证：∠ONM＝∠OMN. 解析：图中有两个中点，但不在同一个三角形中，取AD的中点P，连接EP、 FP，利用三角形的中位线定理即可证明． 证明：取AD的中点P，连接EP、FP，则EP为△ABD的中位线．∴EP∥BD， EP＝BD，∴∠PEF＝∠ONM，同理可知PF为△ADC的中位线，∴FP∥AC，FP＝AC，∴∠PFE＝∠OMN，∵AC＝BD，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE，∴∠ONM＝∠OMN. 方法总结：在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题． 【类型四】 构造三角形中位线解题 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取 一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 1 212 解析：直接找CD与CE之间的数量关系较困难，可取AC的中点F，间接找 CD与CE之间的数量关系． 证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB.∴CE＝BF，∴CD＝2CE. 方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键． 三、板书设计 1．三角形的中位线的概念 2．三角形的中位线定理 本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环. 2．5 矩 形 2．5.1 矩形的性质 1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点) 2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点) 3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明计算．(难点) 一、情境导入 如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？ 可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状． 我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示． 二、合作探究 探究点一：矩形的性质 【类型一】 运用矩形的性质求线段长 矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm， 则AB的长为( ) A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm 解析：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB，由矩形ABCD的周长为24cm，得24＝2AB＋2×2AB，解得AB＝4cm.故选D. 方法总结：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 【类型二】 运用矩形的性质解决面积问题 如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于 点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( ) 1113A. B. C. D. 54310 解析：∵矩形ABCD的边AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在矩形ABCD中，OB＝ ?∠ABO＝∠CDO， OD，在△BOE和△DOF中，?OB＝OD，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S?∠BOE＝∠DOF， 1 ，∴阴影部分的面积＝S＝S矩形ABCD.故选B. DOF△AOB4 △BOE＝S△ 方法总结：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出阴影部分的面积＝S△AOB是解题的关键． 【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等 如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.求证：BF＝AE. 解析：利用矩形的性质得出AD∥BC，∠A＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC≌△EAB，进而得出结论． 证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°，由作图可知，BC＝BE，在△BFC和△EAB中， ?∠A＝∠CFB， ?∠AEB＝∠FBC，∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE. ?EB＝BC， 方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△BFC≌△EAB是解题的关键． 【类型四】 运用矩形的性质证明角相等 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ ED，EF⊥ED. 求证：AE平分∠BAD. 解析：要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB＝BE，又AB＝CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的 判定和矩形的性质，可确定BE＝CD，即求证． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠ BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED.∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF与△DCE?∠BFE＝∠CED，中，?EF＝ED，∴△EBF≌△ ?∠BEF＝∠EDC， DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE＝AB.∴∠BAE＝∠BEA＝45°.∴∠EAD＝45°.∴∠BAE＝∠EAD，即AE平分∠BAD. 方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决． 三、板书设计 矩形的性质； 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等． 平行四边形变形为矩形的过程的演示；生活中给人以矩形形象物体的播放；学生画矩形；学生探究矩形性质时看、猜、比、量、折、写、说等，让学生在体验、实践的过程中，扩大认知结构，发展能力，完善人格，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂矩形教学真正落实到学生的发展上. 2．5.2 矩形的判定 1．掌握矩形的判定方法；(重点) 2．矩形的判定及性质的综合应用．(难点) 一、情境导入 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩 形的方法呢？ 矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质： 1．两条对角线相等且互相平分； 2．四个内角都是直角． 这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？ 二、合作探究 探究点一：有一角是直角的平行四边形是矩形 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外 角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形． 解析：首先利用等边对等角性质得出∠B＝∠ACB；再根据外角和外角平分线性质得出∠FAE＝∠ACB，进而得到AE∥CD，即可推出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质推出四边形ADCE是平行四边形，即可推出四边形 ADCE是矩形． 证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC，∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且相等BD，又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形． 方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活应用平行四边形的判定得出四边形AEDB、四边形ADCE是平行四边形是解题的关键． 探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N， 使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN. 求证：四边形NDMB为矩形． 解析：首先由平行四边形ABCD可得OA＝OC、OB＝OD；若ON＝OB，那么ON＝OD；而CM＝AN，即ON＝OM，由此可证得四边形NDMB的对角线相等且互相平分，即可得证． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB，∵AN＝CM，ON＝ OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，∴平行四边形NDMB为矩形． 方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分． 探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角 ∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形． 解析：本题的垂直关系较多，所以利用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明比较简便． 1 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC. 21 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM.∴∠DAE＝∠DAC211 ＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝180°×＝90°.又AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝ 22∠CEA＝90°.∴四边形ADCE为矩形． 方法总结：题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 探究点四：矩形的性质和判定的综合应用 【类型一】 利用矩形的判定和性质证明和计算 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、 OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是矩形； (2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积． 解析：(1)首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF＝EG； (2)根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求解． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形； (2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，∵DG⊥AC，∴CD＝OD，∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm， DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43(cm)，∴矩形ABCD的面积＝4×43＝163(cm2)． 方法总结：要证明四边形是矩形，首先可判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等． 【类型二】 矩形判定与动点问题 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm， 动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？ 解析：(1)四边形PQCD是平行四边形，可根据DP＝CQ，列出方程后求解即 可； (2)四边形PQBA是矩形，可根据AP＝BQ，列出相应方程求解即可． 解：(1)设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ，所以24－x＝3x，解得x＝6，即经过6秒，四边形PQCD是平行四边形； (2)设经过ys，四边形PQBA为矩形，即AP＝BQ，所以y＝26－3y，解得y13 ＝，即经过6.5秒，四边形PQBA是矩形． 2 方法总结：①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等；②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 三、板书设计 1．矩形的判定 有一角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形． 2．矩形的性质和判定综合应用 在本节课的教学中，不仅要求学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在教学的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法，着眼于让学生不仅懂得验证定理，也要懂得提出问题探究问题．教师在例题练习的教学中，若能适当地多做一些变式练习，引导学生类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的有效性. 2．6 菱 形 2．6.1 菱形的性质 1．掌握菱形的定义和性质；(重点) 2．掌握菱形面积的求法；(重点) 3．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点) 一、情境导入 将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形． 二、合作探究 探究点一：菱形的性质 【类型一】 利用菱形的性质证明线段相等 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于E，CF⊥AD交AD的延长线于F.求证：CE＝CF. 解析：连接AC，根据菱形的性质可得AC平分 ∠DAE，再根据角平分线的性质可得CE＝FC. 证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，∵CE⊥AB，CF⊥ AD，∴CE＝FC. 方法总结：关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【类型二】 利用菱形的性质进行有关的计算 如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过 点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E. (1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积． 解析：(1)在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解； (2)先证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角△OCD中，OC＝CD2－OD2 ＝52－32＝4(cm)； (2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形，∵OB＝OD＝4cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)． 方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题． 【类型三】 运用菱形的性质解决探究性问题 已知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若 AE＝DF，易知△ADE≌△DBF. 探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由． 拓展：如图③，在?ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数． 解析：探究：△ADE和△DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△DBF； 拓展：因为点O在AD的垂直平分线上，所以OA＝OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE的度数． 解：探究：△ADE和△DBF全等．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝ BD，∴AB＝AD＝BD.∴△ABD为等边三角形．∴∠DAB＝∠ADB＝60°.∵AE＝DF，∴△ADE≌△DBF； 拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，∴OA＝OD.∴∠DAO＝∠ADB＝50°.∴∠EAD＝∠FDB.∵AE＝DF，AD＝DB，∴△ADE≌△DBF.∴∠DEA＝∠AFB＝32°.∴∠EDA＝50°－32°＝18°. 方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，比较综合，但难度不大，一定要熟悉相关的基础知识，才能更快地解决问题． 探究点二：菱形的面积 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4， 则该菱形的面积是( ) A．163 B．83 C．43 D．8 11 解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，OA＝AC＝2，OB＝BD，AC⊥BD， 22∠BAD＋∠ABC＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝4，∴OB＝AB2－OA2＝42－22＝23，∴BD＝2OB＝43，∴菱11 形ABCD的面积＝AC·BD＝×4×43＝83；故选B. 22 方法总结：菱形的面积为两对角线长的积的一半，菱形的对角线平分对角． 三、板书设计 1．菱形的性质 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 2．菱形的面积 S菱形＝边长×对应高＝ab(a，b分别是两条对角线的长) 通过折纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数的我们加以引导．在整个新知生成过程中，这个活动起了重要的作用．学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维的状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气. 2．6.2 菱形的判定 12 1．理解和掌握菱形的判定方法；(重点) 2．合理利用菱形的判定方法进行论证和计算．(难点) 一、情境导入 我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？ 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质： 1．两条对角线互相垂直平分； 2．四条边都相等； 3．每条对角线平分一组对角． 这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？ 二、合作探究 探究点一：菱形的判定 【类型一】 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定 已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延 长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. 求证：四边形BCFE是菱形． 解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又 EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形． 证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴ BC＝2DE且DE∥BC.∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形． 方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等． 【类型二】 利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定 如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交 AE于点D，连接CD，求证： (1)AC⊥BD； (2)四边形ABCD是菱形． 解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC⊥BD即可； (2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形． 证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD； (2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB，又∵BC∥AD，∴∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，∴△ABD也是等腰三角形，∴AB＝AD，∴DA＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形． 方法总结：判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的前提条件是平行四边形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形． 【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定 如图，已知△ABC，按如下步骤作图： 1 ①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； 2②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE； ③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF. (1)求证：△AED≌△CFD； (2)求证：四边形AECF是菱形． 解析：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝ CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可； (2)根据全等得到AE＝CF，再由EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA， FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形． 解：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF?∠EAC＝∠FCA， ∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，?AD＝CD， ?∠CFD＝∠AED， ∴△AED≌△CFD； (2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA， FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形． 方法总结：判定一个四边形是菱形可分为两种情况：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定． 探究点二：菱形的判定的应用 【类型一】 菱形判定中的开放性问题 如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线， 根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__________．(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”) 解析：∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，同理ED＝CD，∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵对角线互相垂直的四边形是菱形，则添加的一个条件可以是：AC⊥EF. 方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F. (1)如图①，求证：CE＝CF； (2)如图②所示，若∠ABC＝90°，G是EF的中点，分别连接DB、DG，求∠BDG的度数； (3)如图③所示，若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG，求∠BDG的度数． 解析：(1)根据AF平分∠BAD，可得∠BAF＝∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，证明∠CEF＝∠F即可；(2)如图④所示，分别连接GB、GC，根据∠ABC＝90°，可得△ABE，△ECF均为等腰直角三角形，再证明△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．(3)如图⑤所示，分别延长AB、FG交于H，连接HD，求得四边形AHFD是平行四边形．由∠ABC＝120°，可求得△DHF为等边三角形．再由条件证得△BHD≌△GFD，然后即可求得答案． (1)证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，∴∠CEF＝∠F.∴CE＝CF； (2)解：连接GC、BG，如图④所示，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝45°，∵∠DCB＝90°，DF∥AB，∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°，∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF的中点，∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，又∵∠ABC＝90°，∠BAF＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BE.又AB＝DC，∴BE＝DC，∵∠CEF＝∠GCF＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°，在△BEG与△DCG中，∵ ?EG＝CG， ?∠BEG＝∠DCG，∴△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∠BGA＝∠DGC.∵CG⊥EF，∴∠?BE＝DC， DGC＋∠DGA＝90°，∴∠BGE＋∠DGE＝90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG＝45°； (3)解：延长AB、FG交于H，连接HD，如图所示，∵AD∥CE∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形．∵∠ABC＝120°，∴∠BAC＝60°，又∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∴∠DFA＝30°.∴△DAF为等腰三角形．∴AD＝DF，∴平行四边形AHFD为菱形．∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形．∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°.∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠DAF＝30°，∴∠ CEF＝∠CFA，∴CE＝CF.∵AH－AB＝DF－CD，∴BH＝CF.又∵FG＝CE，∴BH＝GF. 在△BHD与△GFD?DH＝DF， 中，∵?∠BHD＝∠GFD，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH＝ ?BH＝CF， ∠GDF.∴∠BDG＝∠BDH＋∠HDG＝∠GDF＋∠HDG＝60°. 方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 三、板书设计 1．菱形的判定 有一组邻边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形． 2．菱形的性质和判定的综合应用 在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用. 2．7 正方形 1．掌握正方形的概念、性质，并会运用；(重点) 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；(难点) 3．掌握正方形的判定条件；(重点) 4．合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算．(难点) 一、情境导入 做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手过 程中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 二、合作探究 探究点一：正方形的性质 【类型一】 利用正方形的性质求线段长或证明 如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F. (1)求证：BE＝CF； (2)求BE的长． 解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，可证明BE＝CF； (2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE，由BC＝1，可列出方程，可求得BE. (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°，∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF，又∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠ FEC＝∠FCE，∴EF＝FC，∴BE＝CF； (2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，在Rt△CEF中，CE＝EF2＋CF2＝2x，∵BC＝1，∴x＋2x＝1，解得x＝2－1，即BE的长为2－1. 方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决． 【类型二】 利用正方形的性质求角度或证明 在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连 接BE、CE、AE. (1)求证：△AEB≌△DEC； (2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数． 解析：(1)根据正方形的四条边都相等可得AB＝CD，每一个角都是直角可得∠BAD＝∠ADC＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE1 ＝EF＝DE＝DF，根据等边对等角可得∠EAD＝∠EDA，再求出∠BAE＝∠CDE，然 2后利用“边角边”证明即可； (2)根据全等三角形对应边相等可得EB＝EC，再求出△BCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然后求出∠ABE＝30°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BAE，然后根据等边对等角可得∠AFD＝∠BAE. (1)证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵点E为DF1 的中点，∴AE＝EF＝DE＝DF，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠ 2 ?AB＝CD， CDE＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE，在△AEB和△DEC中，?∠BAE＝∠CDE， ?AE＝DE， ∴△AEB≌△DEC(SAS)； (2)解：∵△AEB≌△DEC，∴EB＝EC，∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°－60°＝30°，∵EB＝BC＝AB，1 ∴∠BAE＝(180°－30°)＝75°，又∵AE＝EF，∴∠AFD＝∠BAE＝75°. 2 方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段． 探究点二：正方形的判定 【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”判定 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F. 求证：四边形CEDF是正方形． 解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，再证明一组邻边相等即可． 证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∵DE＝DF，∴矩形DECF是正方形． 方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形． 【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”判定 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交 BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE； (1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论． 解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，又因为CF＝AE，可得出BE＝EC＝BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形； (2)由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，得出菱形EBFC为正方形，根据直角三角形中两个锐角互余得∠A＝45°. 解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1，∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE，∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF 是菱形； (2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形BECF是正方形． 方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定． 探究点三：正方形的性质与判定的综合 已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC， 设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、 AF. (1)求证：∠ECF＝90°； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由； (3)在(2)的条件下，△ABC应该满足条件：________________________，则四边形AECF为正方形．(直接添加条件，无需证明) 解析：(1)由已知CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠BCE＝∠OCE，∠GCF＝∠OCF，所以得∠ECF＝90°； (2)由(1)可得出EO＝CO＝FO，点O运动到AC的中点时，则有EO＝CO＝FO＝AO，所以这时四边形AECF是矩形； (3)由已知和(2)得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形 AECF是正方形． (1)证明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，1 ∴∠ECF＝×180°＝90°； 2 (2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE ＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形； (3)解：当点O运动到AC的中点时，且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．∵由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，已知 MN∥BC，当∠ACB＝90°，则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，即AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．故答案为：∠ACB为直角． 方法总结：此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO＝FO，确定(2)(3)的条件． 如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E， AC、BD相交于O.求证： (1)BE＝BF； 1 (2)OF＝CE. 2 解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE＝∠AOF＝90°.由于AE是正方形 ABCD中∠BAC的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO＝∠AEB.根据“对顶角相等”即可求得∠BFE＝∠AEB，BE＝BF；(2)连接O和AE的中点G.根1 据三角形的中位线的性质即可证得OG∥BC，OG＝CE.根据平行线的性质即可求 21 得∠OGF＝∠FEB，从而证得∠OGF＝∠AFO，OG＝OF，进而证得OF＝CE. 2 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABE＝∠AOF＝90°.∵∠CAE＝∠BAE，∴∠AFO＝∠AEB，又∵∠AFO＝∠BFE，∴∠BFE＝∠AEB，∴BE＝BF； 1 (2)连接O和AE的中点G.∵AO＝CO，AG＝EG，∴OG∥BC，OG＝CE，∴∠OGF21 ＝∠FEB.∵∠AFO＝∠AEB，∴∠OGF＝∠AFO，∴OG＝OF，∴OF＝CE. 2 方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决． 三、板书设计 1．正方形的性质 对边平行，四条边都相等； 四个角都是直角； 对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角． 2．正方形的判定方法 一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形． 本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手动脑的机会，变被动学习为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯. 第3章 图形与坐标 3．1 平面直角坐标系 第1课时 平面直角坐标系 1．理解有序数对的意义，能用有序数对表示实际生活中物体的位置； 2．理解平面直角坐标系的相关概念； 3．在给定的平面直角坐标系中，会由点的位置写出点的坐标，由点的坐标确定点的位置；(重点) 4．理解每个象限及坐标轴上的点的特征．(难点) 一、情境导入 我们已经学过了数轴，知道数轴上的点与实数一一对应，在建立了数轴之后，我们就可以确定直线上点的位置，如图． 那么，如何确定平面内点的位置呢？ 二、合作探究 探究点一：有序数对 如图是某教室学生座位的平面图： (1)请说出王明和陈帅的座位位置； (2)若用(3，2)表示第3排第2列的位置，那么(5，5)表示什么位置？王明和陈帅的座位位置可以怎么表示？ (3)请说出(3，3)和(4，8)分别表示哪两位同学的座位位置； (4)(3，4)和(4，3)表示的位置相同吗？一般地，若a≠b，(a，b)与(b，a)表示的位置相同吗？ 解析：平面上确定物体的位置有多种方法，但基本上都需要两个数据，本题可以通过排数和列数来确定位置，即先确定有序实数对的第1个数，再确定第2个数． 解：(1)王明的座位位置是第1排第2列；陈帅的座位位置是第5排第4列； (2)(5，5)表示的位置是第5排第5列；王明的位置可表示为(1，2)，陈帅的位置可表示为(5，4)； (3)(3，3)表示张军的座位位置；(4，8)表示夏凡的座位位置； (4)(3，4)表示的位置是第3排第4列，(4，3)表示的位置是第4排第3列，它们表示的位置不相同．一般地，若a≠b，(a，b)与(b，a)表示的位置不相同． 方法总结：用有序实数对来描述物体的位置，其中“有序”是指若a≠b，a与b的前后顺序不同，描述的位置一般不同．例如题中的(3，4)和(4，3)表示不同的两个位置．“数对”是指必须由两个数才能确定某点的位置． 探究点二：平面直角坐标系 【类型一】 平面直角坐标系的概念 下列是平面直角坐标系的是( ) 解析：根据平面直角坐标系的定义来判断．平面直角坐标系由x轴(横轴，取向右为正方向)、y轴(纵轴，取向上为正方向)和原点O(x轴与y轴的交点)组成．A选项中没有标明x轴、y轴；B选项中x轴、y轴的正方向取错了；D选项中x轴与y轴标反了．故选C. 方法总结：识别平面直角坐标系时要紧扣定义，抓住其中的要点，与数轴的三要素相参照． 【类型二】 由点的位置写出点的坐标 已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标 轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是( ) A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(1，2) 解析：由点P到x轴的距离为2，可知点P的纵坐标的绝对值为2，又因为垂足在y轴的负半轴上，则纵坐标为－2；由点P到y轴的距离为1，可知点P 的横坐标的绝对值为1，又因为垂足在x轴的正半轴上，则横坐标为1.故点P的坐标是(1，－2)．故选B. 方法总结：本题的易错点有三处：①混淆距离与坐标之间的区别；②不知道与“点P到x轴的距离”对应的是纵坐标，与“点P到y轴的距离”对应的是横坐标；③忽略坐标的符号出现错解．若本例题只已知距离而无附加条件，则点P的坐标有四个． 【类型三】 平面直角坐标系中由坐标描点 在如图的直角坐标系中描出下列各点： A(4，3)，B(－2，3)，C(－4，－1)，D(2，－3)． 解析：本题关键就是已知点的坐标，如何描出点的位置，以描点B(－2，3)为例，即在x轴上找到坐标－2，过－2对应的点作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标3，过3对应的点作y轴的垂线，与前垂线的交点即为B(－2，3)，同理可描出其他三个点． 解：如图所示： 方法总结：在直角坐标系中描出点P(a，b)的方法：先在x轴上找到数a对应的点M，在y轴上找到数b对应的点N，再分别由点M、点N作x轴、y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P.已知坐标平面上的点的坐标，描出对应点的位置，反过来在坐标平面上给一点，找出它对应的坐标，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． 探究点三：点的坐标的符号特征 【类型一】 已知点的坐标确定象限 设点M(a，b)为平面直角坐标系内的点． (1)当a>0，b<0时，点M位于第几象限？ (2)当ab>0时，点M位于第几象限？ (3)当a为任意有理数，且b<0时，点M位于第几象限？ 解析：(1)横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限；(2)由ab>0知a，b同号，则点M在第一或第三象限；(3)b<0，则点M在x轴下方． 解：(1)点M在第四象限； (2)可能在第一象限(a>0，b>0)或者在第三象限(a<0，b<0)； (3)可能在第三象限(a<0，b<0)或者第四象限(a>0，b<0)或者y轴负半轴上． 方法总结：熟记各象限内点的坐标的符号特征：(＋，＋)表示第一象限内的点，(－，＋)表示第二象限内的点，(－，－)表示第三象限内的点，(＋，－)表示第四象限内的点． 【类型二】 根据点的坐标求字母的取值范围 在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围 是________． 解析：根据第一象限内点的坐标符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可?m＞0，得关于m的一元一次不等式组?解得m＞2.故答案为m＞2. ?m－2＞0. 方法总结：求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围． 三、板书设计 平面直角坐标系 定义：原点，坐标轴； ?符号特征； 点的坐标：? ?点的坐标的确定；描点． 就学生掌握的情况来看，学生对于给出的数据去找对应的点或物体相对容易一些，而给出物体或点来确定它的位置要困难一些，并且大多数学生把到x轴的距离认为与横坐标有关，到y轴的距离认为与纵坐标有关，这是错误的，在今后的教学中，要通过实例让学生不断强化，逐步提高. 第2课时 利用直角坐标系和方位描述物体间的位置 1．了解用平面直角坐标系和方位来表示物体间的位置的意义；(重点) 2．利用坐标表示物体间的位置；(重点) 3．建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．(难点) 一、情境导入 “怪兽吃豆”是一种计算机游戏，如图所示的标志表示“怪兽”先后经过的几个位置．如果用(1，2)表示“怪兽”按图中箭头所指路线经过的第三个位置，那么你能用同样的方式表示图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？ 二、合作探究 探究点一：建立适当的平面直角坐标系 如图是某公园景点的平面图(比例尺为1∶10000)，请建立适当的平面 直角坐标系，用坐标分别表示各建筑的位置． 解析：根据“利于点的坐标表示”的原则，选广场为原点比较适当，其他各地与广场的水平距离和垂直距离都相对较小． 解：如图，以广场为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系．测量出碰碰车距广场的图上距离为1.5cm，根据比例尺实际距离为150m，以1m为一个单位长度，图中各地的坐标为广场(0，0)，打靶场(－150，75)，钓鱼台(－75，225)，碰碰车(0，150)，动物馆(75，225)． 方法总结：利用平面直角坐标系，绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内描出这些点，确定出各点的坐标和各个地点的名称．注意：在构建直角坐标系时，一般选水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，或向东为x轴正方向，向北为y轴正方向． 探究点二：用方向、距离描述位置 如图所示是小明家附近的简单地图. 已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝ 4cm，C为OP的中点．回答下列问题(“O”处表示小明家)： (1)图中到小明家距离相等的是哪些地方？ (2)图中商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么位置？ 解析：首先根据图形确定方向，然后再在对应射线上确定距离． 解：(1)学校和公园； (2)图中商场在小明家北偏西30°方向2.5cm处，学校在小明家北偏东45°方向(或东北方向)2cm处，公园在小明家南偏东60°方向2cm处，停车场在小明家南偏东60°方向4cm处． 方法总结：(1)用方向和距离表示物体位置时必须选定一个统一的参照物，同时也要一对数，这对数是相对于参照物的方位和距离；(2)用方向和距离确定物体位置时要考虑方向在前、距离在后的顺序． 三、板书设计 利用直角坐标系和方位描述物体间的位置 1．建立适当的平面直角坐标系表示平面内点的位置； 2．用方向、距离描述位置． 将现实生活中常用的定位方法呈现给学生，进一步丰富学生的数学活动经验，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力．教学过程中创设生动活泼、直观形象且贴近他们生活的问题情境；另一方面，为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究. 3．2 简单图形的坐标表示 1．根据图形特点和问题的需要灵活建立平面直角坐标系确定点的坐标；(重点) 2．简单几何图形中特殊点的坐标的求法；(难点) 3．用平面直角坐标系解决图形问题．(难点) 一、情境导入 如图，长方形ABCD的长与宽分别是6，4，以A点为原点，AD边所在的直 线为x轴建立直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．你还能以其他的方式建立直角坐标系吗？ 二、合作探究 探究点一：简单图形的点的坐标 要修建一个平行四边形的花坛，A(－3，－2)，B(－3，－1)，C(1，－ 2)为此花坛的三个顶点，你能根据这三个点的坐标写出第四个顶点D的坐标吗？点D是唯一的吗？ 解：如图所示，点D的坐标不是唯一的，符合条件的点D的坐标有(－7，－1)，(1，－1)或(1，－3)． 方法总结：解决坐标系中的图形问题，应紧密联系常见几何图形的性质，运用数形结合的思想，将几何问题转化为代数问题． 探究点二：建立合适的平面直角坐标系表示图形中的点的坐标 如图，梯形ABCD的上底为4，下底为6，高为3，建立适当的平面直角 坐标系，并写出各个顶点的坐标． 解析：可以以A为原点，以AB所在直线为x轴作平面直角坐标系进行求解． 解：(答案不唯一)如图，以AB的中点O为原点，分别以AB所在直线和过点O的AB的中垂线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．此时点O的坐标为(0，0)，OA＝OB＝3，点A，B的坐标分别为A(－3，0)，B(3，0)．因为高为3，CD的长为4，则点D，C坐标分别为(－2，3)，(2，3)． 方法总结：根据已知条件建立适当的直角坐标系是确定点的位置的必经过程．通常以某已知点为原点，以某些特殊线段所在直线(如高、中线、对称轴)为x轴或y轴，使图形中尽量多的点在坐标轴上． 探究点三：在坐标轴中求图形的面积 如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(0，0)， B(9，0)，C(7，5)，D(2，7)．试确定这个四边形的面积． 解析：由于四边形不是规则的四边形，所以可以考虑把它分成三角形或规则的四边形来解决． 解：分别过点D、C向x轴作垂线，垂足分别为点E、F，则四边形ABCD被分割为△AED、△BCF及梯形CDEF.由各点的坐标可得AE＝2，DE＝7，EF＝5，FB＝2，CF＝5.∴S四边形ABCD＝S△AED＋S梯形CDEF111 ＋S△CFB＝×2×7＋×(7＋5)×5＋×5 222 ×2＝7＋30＋5＝42. 方法总结：在直角坐标系中求不规则多边形的面积，一般采用割补法，将其割补为规则图形，从而求出面积． 探究点四：简单图形的几何问题 在如图①所示的网格中建立平面直角坐标系，在坐标平面内描出点 O(0，0)，P(5，5)，M(2，－1)，N(－1，2)，连接OP、OM、ON、PM、PN，并直接回答下列问题： (1)试判断射线OP与∠MON的关系； (2)试判断OM与PM、ON与PN的位置关系； (3)试判断线段OM、ON的大小关系． 解析：(1)首先利用勾股定理计算出NO、MO、NP、PM的长，再利用全等三角形的判定得出△PON≌△POM，从而得出OP是∠MON的平分线；(2)利用勾股定理的逆定定理得出△PNO是直角三角形，同理可得出△PMO也是直角三角形，即可得出答案；(3)由(1)可得OM＝ON. 解：如图②所示．(1)∵点O(0，0)，P(5，5)，M(2，－1)，N(－1，2)，∴ NO＝22＋12＝5，MO＝22＋12＝5，NP＝62＋32＝35，PM＝62＋32＝35， OP＝5?PO＝PO， 2.在△NOP和△PON中?PN＝PM， ?NO＝MO， ∴△PON≌△POM.∴∠NOP＝∠MOP.∴OP是∠MON的平分线； (2)∵NO＝5，NP＝35，OP＝52，∴NO2＋NP2＝OP2，∴△PNO是直角三角形，同理可得△PMO也是直角三角形，∴OM⊥PM，ON⊥PN； (3)由(1)可得OM＝ON. 方法总结：在平面直角坐标系中要善于运用勾股定理求线段长度或证明相关结论． 三、板书设计 简单图形的坐标表示 1．特殊点的坐标 2．建立适当的平面直角坐标系 从学生掌握的情况来看，对于如何建立坐标系表示点的坐标熟练一些，而给出不规则图形点的坐标求图形的面积有一些困难，特别是不懂方法技巧，在今后的教学中有待逐步强化，全面提高. 3．3 轴对称和平移的坐标表示 第1课时 轴对称的坐标表示 1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律；(重点) 2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x、y轴对称的图形．(难点) 一、情境导入 在我们的生活中，对称是一种很常见的现象．把如图所示成轴对称的黄鹤楼图形放在平面直角坐标系中，其对称轴为某条坐标轴．那么，图形上对称的坐标会有什么关系呢？ 二、合作探究 探究点一：关于x轴、y轴对称的点的坐标 点A(2a－3，b)与点A′(4，a＋2)关于x轴对称，求a，b. 解析：此题应根据关于x轴对称的两个点的坐标的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得2a－3与4相等，b与a＋2互为相反数． 解：由点A(2a－3，b)与点A′(4，a＋2)关于x轴对称得2a－3＝4，a＋2711 ＝－b.所以a＝，b＝－. 22 方法总结：在平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标规律：若A(x， y)与B(m，n)关于x轴对称，则有x＝m，y＝－n；若A(x，y)与B(m，n)关于y轴对称，则有x＝－m，y＝n；若A(x，y)与B(m，n)关于原点对称，则有x＝－ m，y＝－n. 探究点二：作图——轴对称变换 如下图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，4)，B(－3，1)， C(0，0)，作出△ABC关于x轴、y轴的对称图形．并写出对称点的坐标． 解析：分别作点A，B，C关于x轴、y轴的对称点即可． 解：如图所示； A1(1，4)，B1(3，1)，A2(－1，－4)，B2(－3，－1)，C点关于x轴、y轴的对称点的坐标不变，均为(0，0)． 方法总结：作对称图形应先确定对称点，再顺次连接各点即可． 探究点三：平面直角坐标系中的规律探究 如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2， －1)，…，则点A2015的坐标为________． 解析：从各点的位置可以发现A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)，A6(2，2)，A7(－2，2)，A8(－2，－2)，A9(3，－2)，A10(3，3)，A11(－3，3)，A12(－3，－3)，….仔细观察每四个点的横、纵坐标，发现存在着一定规律性．因为2015＝503×4＋3，所以点A2015在第二象限，纵坐标和横坐标互为相反数，所以A2015的坐标为(－504，504)．故填(－504，504)． 方法总结：解决此类题常用的方法是通过对几种特殊情况的研究，归纳总结出一般规律，再根据一般规律探究特殊情况． 三、板书设计 轴对称的坐标表示 1．关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数．点(x，y)关于x轴的对称点的坐标为(x，－y)； 2．关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变．点(x，y)关于y轴的对称点的坐标为(－x，y)． 通过本课时的学习，学生经历图形坐标变化与图形的轴对称之间的关系的探索过程，掌握空间与图形的基础知识和基本作图技能，丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维，激发数学学习的好奇心与求知欲．教学过程中学生能积极参与数学学习活动，积极交流合作，体验数学活动的乐趣. 第2课时 平移的坐标表示 1．使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的点的坐标的变化规律；(重点、难点) 2．使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受到代数与几何的相互转化，初步建立空间观念． 一、情境导入 同学们会下棋吗？棋子的移动，什么在变，什么不变？那么在棋盘上推动棋子是否可以看成图形在平面上的平移呢？ 二、合作探究 探究点一：平面直角坐标系中点的平移 将点(1，2)向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的对应点 的坐标是________． 解析：向左平移1个单位，横坐标减1，向下平移2个单位，纵坐标减2，于是点(1，2)变为(0，0)．故答案为(0，0)． 方法总结：根据平移前后图形的坐标关系：①上加下减(纵坐标变化)，左减右加(横坐标变化)；②正加负减，即向x(y)轴正方向平移，横(纵)坐标增加；负方向平移，横(纵)坐标减小． 探究点二：平面直角坐标系中图形的平移 【类型一】 已知平移方向与距离，确定平移后图形的位置 如图，将三角形ABC先向下平移5个单位，再向左平移3个单位得到 三角形A′B′C′，求三角形A′B′C′的顶点坐标，并画出三角形A′B′C′. 解析：按照点的平移规律求出平移后点的坐标，向下平移5个单位，即横坐标不变，纵坐标减5；向左平移3个单位，即纵坐标不变，横坐标减3，再画出图形即可． 解：用箭头表示平移，则有： A(3，5)→(3，0)→A′(0，0)， B(0，3)→(0，－2)→B′(－3，－2)， C(2，0)→(2，－5)→C′(－1，－5)． 画出三角形A′B′C′如上图． 方法总结：画平移后的图形，应先求出平移后各关键点的坐标，再描点连线即可． 【类型二】 由坐标的变化确定平移过程 在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形ABCD， 点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是( ) A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位 D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 解析：由点A(0，2)变化到点A′(5，－1)知横纵坐标的变化规律，可得出平移方向与距离，即由横坐标加5，纵坐标减3，得出此平移可以是先向右平移5个单位，再向下平移3个单位．故答案为B. 方法总结：①可用排除法，对照备选选项，逐一分析，选择出正确答案；②由坐标定平移口诀：坐标变化定平移，横变纵定左右移，横坐标变大向右移，纵变横定上下移，纵坐标变大向上移，横变纵变两次移；③左右(上下)平移的距离，就是平移前后两点横(纵)坐标差的绝对值． 三、板书设计 纵坐标不变 ??沿x轴?横坐标加上一个正数?向右平移 平移的?平移 ?横坐标减去一个正数?向左平移坐标表示 ??? 沿y轴? 纵坐标加上一个正数?向上平移?平移 ?纵坐标减去一个正数?向下平移 横坐标不变 本节课的教学过程中，无论是从情境中引入，还是对新知的探究及拓展，始终在努力调动学生学习的积极性．通过探究归纳出点或图形的平移引起的点的坐标的变化规律，积累数学活动经验，提高学生的科学思维素养；体验数学活动充满探索性与创造性，激发学生学习数学的兴趣，使学生经历数学的思维过程， 从而获得成功的体验. 第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法 4．1.1 变量与函数 1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点) 3．确定简单问题的函数关系．(难点) 一、情境导入 如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定． 在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定． 你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究 探究点一：常量与变量 分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S＝4πR2； (2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的1 关系式是h＝gt2(其中g取9.8m/s2)； 2 (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x＝1.8w. 解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量． 解：(1)球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S＝4πR2，其中，常量是4π，变量是S，R； (2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的11 关系式是h＝gt2(其中g取9.8m/s2)，其中常量是g，变量是h，t； 22 (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x＝1.8w，常量是1.8，变量是x，w. 方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化． 探究点二：函数的定义 下列说法中正确的是( ) A．变量x，y满足x＋3y＝1，则y是x的函数 B．变量x，y满足y＝－x2－1，则y可以是x的函数 C．变量x，y满足|y|＝x，则y可以是x的函数 D．变量x，y满足y2＝x，则y可以是x的函数 解析：A中x＋3y＝1，y可以看作x的函数，因为y＝ 1－x；B中y＝－x2－1，3 因为－x2－1<0，等式无意义，即对于变量x的任何一个取值，变量y都没有唯一确定的值，故y不是x的函数；C、D中的|y|＝x和y2＝x，对于变量x的任意一个正数值，变量y都有两个(不唯一)值与其对应，故y不是x的函数．故选A. 方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且 在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系． 探究点三：确定自变量的取值范围 【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围 写出下列函数中自变量x的取值范围． (1)y＝2x－3； (2)y＝ 3 ； 1－x(3)y＝4－x； (4)y＝ x－1 . x－2 解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 解：(1)全体实数； (2)分母1－x≠0，即x≠1； (3)被开方数4－x≥0，即x≤4； ?x－1≥0， (4)由题意得?解得x≥1且x≠2. ?x－2≠0， 方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数． 【类型二】 实际问题中自变量的取值范围 水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设 经过t分钟后，水箱内存水y升． (1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围； (2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？ 解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)7：55时，t＝55－30＝25，将t＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可． 解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0， ∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)； (2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升； (3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完． 探究点四：简单问题的函数关系 一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物 后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm； (1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数表达式； (2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度． 解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可； 1 解：(1)y＝10＋x，其中x是自变量，y是自变量的函数； 211 (2)将x＝5代入y＝10＋x，得y＝10＋×5＝12.5(cm)． 22答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5厘米． 方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可． 探究点五：函数值 5 根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的函数值为2 ( ) 32425A. B. C. D. 25254 5512 解析：∵x＝时，在2≤x≤4之间，∴将x＝代入函数y＝，得y＝.故 22x5选B. 方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算． 三、板书设计 1．常量和变量的概念 2．函数的概念 3．函数关系式 4．自变量的取值范围 5．函数值 通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步. 4．1.2 函数的表示法 1．了解函数的三种不同的表示方法；(重点) 2．在实际情境中，会根据不同的需要，选择恰当的函数的表示方法；(重 点) 3．函数三种表示方法的优点的认识．(难点) 一、情境导入 问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎 样的方法才能更好的表示这一函数呢？ (2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？ 二、合作探究 探究点：函数的表示方法 【类型一】 用列表法表示函数关系 有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变， 请根据下面表格中的一些数据回答下列问题： 质量(克) 伸长量(厘米) 1 0.5 2 1 3 1.5 4 2 … … … 总长度(厘米) 10.5 11 11.5 12 (1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？ (2)当所挂重物为x克时，用h表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式； (3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克？ 解析：(1)根据挂重物每克弹簧伸长0.5厘米，可知要伸长5厘米需挂重物质量； (2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式； (3)根据题意求出函数值，可得所挂重物质量． 解：(1)5÷0.5×1＝10(克)， 答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克； (2)函数的表达式为h＝10＋0.5x(0≤x≤50)； (3)当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30. 答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克． 方法总结：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等． 【类型二】 用图象法表示函数关系 如图所示，修建高速公路的过程中，施工队在工作了一段时间后，因 暴雨被迫停工几天，暴雨过后施工队加快了施工进度，按时完成了工程任务，下面能反映该工程未修建的公路里程y(千米)与时间x(天)之间的函数关系的大致图象是( ) 解析：∵y表示未修建的公路里程，x表示时间，∴y由大变小，∴选项A、D错误；∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，随后加快了施工进度，∴y随x的增大减小得比开始的快，线段与x轴夹角变大．∴选项C错误，选项B正确．故选B. 方法总结：在选择合适图象时，要先弄清横纵坐标表示的意义，再根据描述找出关键转折点，分析转折前后是否都均匀变化，确定图象的线条是直线还是曲线．变化的趋势是快是慢，则可用与x轴的夹角来表示出来． 如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离 s(km)和行驶时间t(h)之间的关系如图，请根据图象回答下列问题： (1)汽车共行驶的路程是多少？ (2)汽车在行驶途中停留了多长时间？ (3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？ (4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？ 解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)； (2)由横坐标看出，2－1.5＝0.5(小时)，汽车在行驶途中停留了0.5小时； (3)由纵坐标看出汽车到达D点时的路程是120千米，由横坐标看出到达D点时的时间是3小时，由此算出平均速度120÷3＝40(km/h)；由纵坐标看出返回的路程是120千米，由横坐标看出，4.5－3＝1.5(小时)，汽车返回家用了1.5小时，由此算出平均速度是120÷1.5＝80(km/h)； (4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时． 方法总结：图象法的优点：直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等． 【类型三】 用解析法表示函数关系 一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1km，耗油0.6升，如 果设剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米)． (1)写出y与x的关系式； (2)这辆汽车行驶35km时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？ 解析：(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式； (2)根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值． 解：(1)y＝－0.6x＋48； (2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米． 方法总结：解析法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 三、板书设计 1．函数的三种表示方法及其优点： (1)解析法：可以方便地计算函数值； (2)列表法：自变量取的值与因变量取的值看得很清楚； (3)图象法：直观看出因变量如何随自变量变化．
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