第03讲 最值问题专题
最值的种类你是否都提前总结过？ 1. 垂线段最值类型：
2. 点与点之间，线段最短类型； 3. 轴对称最值类型（也称将军饮马型）； 4. 二次函数最值类型； 5. 辅助圆中最值类型； 6. 费马点最值类型； 7. 胡不归最值类型； 8. 阿波罗尼斯圆最值类型.
【例题1】 （2019?鸡西）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且 S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为 ．
【分析】本题属于“将军饮马最值类型”
【解析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x． ∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6， ∵S△PAB＝S△PCD，
∴×4×x＝××4×（6﹣x）， ∴x＝2，
∴AM＝2，DM＝EM＝4， 在Rt△ECD中，EC＝∵PM垂直平分线段DE， ∴PD＝PE，
∴PC+PD＝PC+PE≥EC，
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＝4，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4
．
【例题2】在四边形ABDE中，C是BD边的中点． （1）如图（1），若AC平分?BAE，?ACE?90?，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 AE?AB?DE ；（直接写出答案） （2）如图（2），AC平分?BAE，EC平分?AED，若?ACE?120?，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； （3）如图（3），BD?8，AB?2，DE?8，若ACE?135?，求线段AE长度的最大值．
【分析】本题属于“两点之间，线段最短类型” 【解析】（1）AE?AB?DE；
理由：在AE上取一点F，使AF?AB．易得AE?AF?EF=AB?DE
1（2）猜想：AE?AB?DE?BD．
2证明：在AE上取点F，使AF?AB，连结CF，在AE上取点G，使EG?ED，连结CG． C是BD边的中点，
1?CB?CD?BD．
2AC平分?BAE， ??BAC??FAC． 在?ACB和?ACF中， ?AB?AF???BAC??FAC， ?AC?AC???ACB??ACF(SAS)，
?CF?CB，??BCA??FCA．
同理可证：CD?CG，??DCE??GCE． CB?CD，?CG?CF ?ACE?120?，
??BCA??DCE?180??120??60?． ??FCA??GCE?60?． ??FCG?60?．
??FGC是等边三角形．
1?FG?FC?BD．
2AE?AF?EG?FG．
- 2 -
1?AE?AB?DE?BD．
2（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG． C是BD边的中点，
1?CB?CD?BD．
2?ACB??ACF(SAS)，
?CF?CB，??BCA??FCA．
同理可证：CD?CG，??DCE??GCE CB?CD，?CG?CF ?ACE?135?，
??BCA??DCE?180??135??45?． ??FCA??GCE?45?． ??FCG?90?．
??FGC是等腰直角三角形．
1?FC?BD．
2BD?8， ?FC?4， ?FG?42．
AE?AB?42?DE． AB?2，DE?8，
?AEAF?FG?EG?10?42．
?当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10?42．
故答案为：10?42． 【例题3】（2019?普洱一模）已知菱形ABCD中，AB＝5，∠B＝60°，⊙A的半径为2，⊙B的半径为3，点E、F分别为⊙A、⊙B上的动点，点P为DC边上的动点，则PE+PF的最小值为 5 ．
【分析】本题属于“轴对称最值类型”
【解析】当P与C重合时，F点在BC上，E点在AC上，此时PE+PF的值最小； 连接AC，
∵菱形ABCD，AB＝5，∠B＝60°， ∴AC＝5，
∵⊙A的半径为2， ∴EC＝3，
∵⊙B的半径为3， ∴FC＝2， ∴PE+PF＝5； 故答案为5；
【例题4】（2019?玉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆
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