第八节 曲线与方程
A级·基础过关 |固根基|
1.到点F(0，4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为( ) A．y＝16x C．x＝16y
2
2
B．y＝－16x D．x＝－16y
2
2
解析：选C 由条件知，动点M到F(0，4)的距离与到直线y＝－4的距离相等，所以点M的轨迹是以F(0，4)为焦点，直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x＝16y.
2．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线(非x轴)相交于点P，则点P的轨迹方程为( )
A．x－＝1(x>1)
8C．x＋＝1(x>0)
8
22
2
y2y2
B．x－＝1(x<－1)
8D．x－＝1(x>1)
10
2
2
y2
y2
解析：选A 由题意知，|PM|－|PN|＝|BM|－|BN|＝2，由双曲线的定义可知点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，由已知条件得c＝3，a＝1，所以b＝8.所以点P的轨迹方程为x－＝1(x>1)．故选A．
8
→1→→
3．已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足OP＝(OF1＋OQ)(其中O为坐标原点，F1
16102为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为( )
A．圆 C．双曲线
B．抛物线 D．椭圆
2
2
y2
x2y2
→1→→
解析：选D 因为点P满足OP＝(OF1＋OQ)，所以点P是线段QF1的中点，设P(x，y)，由
2于F1为椭圆C：＋＝1的左焦点，则F1(－6，0)，故Q(2x＋6，2y)，由点Q在椭圆C：
1610（2x＋6）（2y）
＋＝1上，得点P的轨迹方程为＋＝1，故点P的轨迹为椭圆，故选D． 16101610
4．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
A．y－＝1(y≤－1)
48C．y－＝－1
48
22
x2y2
x2y2
22
x2x2
B．y－＝1
48D．x－＝1
48
2
2
x2y2
解析：选A 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．由已知条件得c＝7，a＝1，∴b＝48，∴点F的轨迹方程为y－＝1(y≤－1)．故选A．
48
5．(2019届湖南雅礼中学月考)已知A(－1，0)，B是圆F：x－2x＋y－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交线段BF于点P，则动点P的轨迹方程为( )
A．＋＝1 1211C．－＝1
32
2
2
2
2
2
x2
x2y2
B．－＝1 3635D．＋＝1
32
2
x2y2
x2y2x2y2
解析：选D 圆F的标准方程为(x－1)＋y＝12，则圆心F(1，0)，半径r＝23.由已知可得|FB|＝|PF|＋|PB|＝|PF|＋|PA|＝23>2＝|AF|，故动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，所以a＝3，c＝1，所以b＝a－c＝2，所以动点P的轨迹方程是＋＝1.故选D．
32
6．已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且顶点A，B的坐标分别为(－4，5
0)，(4，0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为________．
4
55
解析：由sin B＋sin A＝sin C及正弦定理可知b＋a＝c＝10，
44即|AC|＋|BC|＝10>8＝|AB|，∴满足椭圆定义．
2
2
2
x2y2
x2y2
令椭圆方程为2＋＝1，则a′＝5，c′＝4，∴b′＝3，
a′b′2
则C点轨迹方程为＋＝1(x≠±5)．
259答案：＋＝1(x≠±5)
259
→→
7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量OP在向量OA上的投影为－5，则点P的轨迹方程是________．
→→
解析：由题意知＝－5，得x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0.
→||OAx2y2
x2y2
OP·OA答案：x＋2y＋5＝0
→→
8．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足OC＝OA＋
t(OB－OA)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
?x＝t＋1，?→→→→
解析：设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＋t(OB－OA)＝(1＋t，2t)，所以?消去
??y＝2t，
→→
参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
9．已知圆的方程为x＋y＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________．
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，
2
2
B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线焦点的轨迹方程为＋＝
4
3
1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
43
10．(2020届惠州调研)已知定点A(－3，0)，B(3，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们1
的斜率之积为－，记动点M的轨迹为曲线C．
9
(1)求曲线C的方程；
(2)过点T(1，0)的直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S(x0，0)，使得直线
x2y2
x2y2
SP与SQ斜率之积为定值？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设动点M(x，y)，则直线MA的斜率kMA＝(x≠3)．
1yy1x2
因为kMA·kMB＝－，所以·＝－，化简得＋y＝1.
9x＋3x－399又x≠±3，所以曲线C的方程为＋y＝1(x≠±3)．
9
(2)存在定点S(x0，0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值．由题意得直线l的斜率不为
2
(x≠－3)，直线MB的斜率kMB＝x＋3x－3
yyx2
2
x＝my＋1，??2
0，根据直线l过点T(1，0)，可设直线l的方程为x＝my＋1，联立得?x消去x得，2
＋y＝1，??9
(m＋9)y＋2my－8＝0.
2
2
??
设P(x，y)，Q(x，y)，则?－8
yy＝??m＋9，1
1
2
2
12
2
2my1＋y2＝－2，
m＋9
直线SP与SQ的斜率分别为kSP＝y1
x1－x0my1＋1－x0
＝y1
，kSQ＝
y2
x2－x0my2＋1－x0
＝y2
，
则kSP·kSQ＝
（my1＋1－x0）（my2＋1－x0）
y1y2
相关推荐：
loading