平面向量知识点总结

平面向量知识点总结

基本知识回顾：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法：

①用有向线段表示-----AB(几何表示法)； ②用字母a、b等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj，(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)。a???x2?y2；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则AB??x2?x1,y2?y1?，AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为0；

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

a|a|就是单位向量）

?????0,b与a同向??方向---???0,b与a反向性质：a//b(b?0)?a??b(?是唯一）? ???长度---|a|??b?? a//b(b?0)?x1y2?x2y1?0 （其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2)）

5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

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②垂直向量——两向量的夹角为??性质：a?b?ab?0

?2

a?b?x1x2?y1y2?0 （其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2)）

6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则：

AC?a?b（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）

DB?a?b

三角形法则?

——加法法则的推广： ABn?AB1?B1B2?……?Bn?1Bn

即n个向量a1,a2,……an首尾相连成一个封闭图形，则有a1?a2?……?an?0 ②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a ?b= a+ (?b)； 差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a? b

?加法???首尾相连?减法???终点相连,方向指向被减数

③平面向量的坐标运算：若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，

a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)。

④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) ⑤常用结论： （1）若AD?1(AB?AC)，则D是AB的中点 2（2）或G是△ABC的重心，则GA?GB?GC?0

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7．向量的模：

1、定义：向量的大小，记为 |a| 或 |AB| 2、模的求法：

若 a?(x,y)，则 |a|?x2?y2 22若A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 |AB|?(x2?x1)?(y2?y1) 3、性质：

22（1）|a|2?a； |a|?b(b?0)?|a|?b （实数与向量的转化关系） 22（2）a?b?|a|?|b|，反之不然

2（3）三角不等式：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b| （4）|ab|?|a||b| （当且仅当a,b共线时取“=”）

即当a,b同向时 ，ab?|a||b|； 即当a,b同反向时 ，ab??|a||b| （5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

2222即2|a|?2|b|?|a?b|?|a?b|

8．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa （1）|λa|=|λ||a|；

（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0；

??????????????????（3）运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

交换律：ab?ba;

分配律：(a?b)c?ac?bc

(?a)·b=?(a·b)=a·(?b); ——①不满足结合律：即(ab)c?a(bc)

aa②向量没有除法运算。如：ab?cb?a?c，?都是错误的

abb3 / 5

2（4）已知两个非零向量a,b，它们的夹角为?，则

ab =|a||b|cos?

坐标运算：a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则ab?x1x2?y1y2 （5）向量AB?a在轴l上的投影为：

︱a︱cos?， （?为a与n的夹角，n为l的方向向量）

其投影的长为AB?//an|n| （

n为n的单位向量） |n|（6）a与b的夹角?和ab的关系：

（1）当??0时，a与b同向；当???时，a与b反向

???ab?0?ab?0 （2）?为锐角时，则有?； ?为钝角时，则有?

???a,b不共线?a,b不共线9．向量共线定理：

???向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=

λa。

10．平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。

(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量。 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1) 11. 向量a和b的数量积：

??????????????4 / 5

①a·b=| a|·|b|cos?，其中?∈[0，π]为a和b的夹角。 ②|b|cos?称为b在a的方向上的投影。

③a·b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。

??④若a =（x1，y1）, b=（x2，y2）, 则a?b?x1x2?y1y2

⑤运算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。 ⑥a和b的夹角公式：cos?=

a?ba?b＝

x1x2?y1y2x1?y?22221

22x?y222???2222

⑦a?a?a?|a|=x+y，或|a|=(x1?x2?x3y1?y2?y3,)

33????x?y?a⑧| a·b |≤| a |·| b |。

12.两个向量平行的充要条件：

符号语言：若a∥b，a≠0，则a=λb

?x1??x2坐标语言为：设a=（x1,y1），b=(x2,y2)，则a∥b?(x1,y1)=λ(x2,y2)，即?，

y??y2?1??????或x1y2-x2y1=0

在这里，实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ>0；当a与b异向时，λ<0。 |λ|=

????|a||b|??，λ的大小由a及b的大小确定。因此，当a，b确定时，λ的符号与大小就确

????定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。 13.两个向量垂直的充要条件：

符号语言：a⊥b?a·b=0

坐标语言：设a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则a⊥b?x1x2+y1y2=0

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