四年级下期
第一讲 加减混合运算的简算
例 1 计算：(1) 3205＋8749－6749
(2) 9143－6287＋5287
解：(1) 观察发现, 加数 8749 与减数 6749 的末三位数字相同, 如果让这两个数先抵消一下, 计算就会简便。因为加数大减数小, 抵消后的数还是加数, 所以 3205＋8749－6749 ＝3205＋(8749－6749) ＝3205＋2000 ＝5205
(2) 观察发现, 减数 6287 与加数 5287 的末三位数字相同, 如果让这两个数先抵消一下, 计算就会简便。因为减数大加数小, 抵消后的数还是减数, 所以 9143－6287＋5287 ＝9143－(6287－5287) ＝6143－1000
从上面两题可以发现：加减混合运算, 为了使计算简便而需要添上括号时, 如果在加号后面添上括号, 括号里面的数不必改变运算符号；如果在减号后面添上括号, 括号里面的数必须改变运算符号, 由加变成减, 由减变成加。简单地说就是, 在添上括号时：加号后面添括号, 原来加减不变号； 减号后面添括号, 原来加减要变号。
有时, 为了使计算简便, 需要去掉括号, 这条规则可以反过来用。简单地说就是, 在去掉括号时：括号前面是加号, 原来加减不变号；括号前面是减号, 原来加减要变号。
例 2 计算：(1) 1524＋(3476－1584)
(2) 7369－(4369－1055)
解：(1) 1524＋(3476－1583) ＝1524＋3476－1583 ＝5000－1583 ＝3417
(2) 7369－(4369－1055)
＝7369－4369＋1055
＝3000＋1055 ＝4055
上面的例题，再一次印证了认真观察、善于思考的重要性，希望同学们能有意识、有目的地养成这种好习惯。
练 习 一
1. 在○里填运算符号, 在横线上填数。
(1) 564－496＋196＝564－( ○ ) (2) 397＋748－548＝397＋( ○ ) (3) 843－567＋967＝843＋( ○ )
1
(4) 638＋293－593＝638－( ○ ) 2. 用简便方法计算下面各题。
(1) 9043－5678＋1678 (2) 5867＋4492－3492 (3) 6138－5476＋8476 (4) 3264＋2259－4259 3. 在○里填运算符号, 在横线上填数。
(1) 374＋(526－312)＝374○ ○ (2) 824－(324＋158)＝824○ ○ (3) 579－(279－108)＝579○ ○ (4) 384＋(495＋216)＝384○ ○ (5) 607－(514－293)＝607○ ○ 4. 用简便方法计算下面各题。
(1) 9473－(6473－2815) (2) 3642＋(5307－1642) (3) 6382－(4143－2618) (4) 4068＋(2932－1657)
(5) 9364－(5364＋2989) (6) 1625＋(4268＋2375)
第二讲 乘除混合运算的简算
例 1 计算：(1) 312×56÷7 (2) 9600÷25÷4
解：(1) 算式的意义是把 312 先扩大 56 倍再缩小 7 倍。如果把扩大和缩小的倍数抵消一下, 就相当于把 312 直接扩大 56÷7＝8 倍。 312×56÷7＝312×(56÷7)＝312×8＝2496
(2) 算式的意义是把 9600 先缩小 25 倍, 再缩小 4 倍。如果把缩小的过程合并成一次, 相当于缩小 25×4 倍, 因为 25×4＝100, 一个数缩小 100 倍, 只需从末尾去掉两个 0, 计算就非常简便。
9600÷25÷4＝9600÷(25÷4)＝9600÷100＝96
从上面两题可以发现, 乘除混合运算, 为了使计算简便而需要添上括号时, 如果在乘号后面添上括号, 括号里面的数不必改变运算符号；如果在除号后面添上括号, 括号里面的数必须改变运算符号, 由乘变除, 由除变乘。简单地说就是, 在添上括号时：乘号后面添括号, 原来乘除不变号；除号后面添括号, 原来乘除要变号。
有时, 为了使计算简便, 需要去掉括号, 这条规则可以反过来用。简单地说就是, 在去掉括号时：括号前面是乘号, 原来乘除不变号；括号前面是除号, 原来乘除要变号。
例 2 计算。(1) 25×(120÷75) (2) 512÷(32÷15) 解：(1) 25×(120÷75) ＝25×120÷75＝3000÷75＝40 (2) 512÷(32÷15)＝512÷32×15＝16×15＝240
同学们一定会发现, 乘除混合运算添上或去掉括号的规则, 与加减混合运算的情况非常相似。只要稍作改变就可以一起记住。 例 3 用简便方法计算下面各题。
2
(1) 68×269÷17 (3) 125÷16×8
解：(1) 算式的意义可以理解为,把 68 先扩大 269 倍再缩小 17 倍。经验告诉我们: 把一个数先扩大再缩小或者先缩小再扩大,结果是一样的。但是,一般地说,把一个数先缩小再扩大要比先扩大再缩小好算一些。于是
68×269÷17＝68÷17×269＝4×269＝1076
(2) 这道题虽然是把 125 先缩小再扩大, 符合计算方便的要求, 但是 125÷16 有余数, 往下无法进行。所以只好先扩大再缩小。于是 125÷16×80＝125×80÷16＝10000÷16＝625
于是, 我们得到一个非常有用的结论：乘、除连在一起, 乘数和除数可以带着运算符号交换位置。
练 习 二
带“*”的是选作题。
1. 在○里填运算符号, 在横线上填数。
(1) 564×36÷9＝564×( ○ ) (2) 427×63÷7＝427×( ○ ) (3) 320÷8÷4＝320÷( ○ ) (4) 248÷6×3＝248÷( ○ ) 2. 用简便方法计算下面各题。
(1) 423×18÷6 (2) 301×54÷9 (3) 840÷21÷2 (4) 656÷41÷8 3. 在○里填运算符号, 在横线上填数。 (1) 16×(25÷4)＝16○ ○ (2) 96÷(16×2)＝96○ ○ (3) 79÷(79÷8)＝79○ ○ (4) 25×(4×37)＝25○ ○ 4. 用简便方法计算下面各题。
(1) 256÷(64÷15) (2) 125×(32÷25) (3) 780÷(26÷18) (4) 375×(40÷75) (5) 936÷(36×13) (6) 625×(16×87) 5. 用简便方法计算下面各题。
51×399÷17 2700÷25÷27 28×56÷7 900÷36×4 910×86÷13 7800×92÷26 9600÷25÷24 225×56÷75 800÷72×90 11100÷25÷37 800÷72×90 11100÷25÷37
* 6. 计算 1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷(7÷8)。
3
第三讲 求等差数的和
例 1 计算 123＋234＋345＋456＋567＋678。
解：观察发现，相邻两个加数的差相等, 都是 111。这就启发我们，如果根据加法交换律和加法结合律, 先求出第一个加数与倒数第一个加数的和, 第二个加数与倒数第二个加数的和, 第三个加数与倒数第三个加数的和, 那么 3 个和都相等。这样一来, 就可以用乘法代替加法, 使计算简便。
123＋234＋345＋456＋567＋678 ＝(123＋678)＋(234＋567)＋(345＋456) ＝801×3 ＝2403
例 2 计算 1045＋1050＋1055＋1060＋1065＋1070＋1075。
解：观察发现, 相邻两个加数的差相等, 都是 5, 一共有 7 个加数。中间的第四个加数 1060, 不仅是第三个加数与第五个加数的平均数, 也是第二个加数与第六个加数的平均数, 也是第一个加数与第七个加数的平均数。换句话说, 所有 7 个加数的和等于第四个加数的 7 倍。于是, 可以用乘法代替加法, 使计算简便。
1045＋1050＋1055＋1060＋1065＋1070＋1075 ＝1060×7 ＝7420
总结以上两种情况, 几个数相加, 当相邻两个加数的差相等时, 就可以用乘法代替加法, 使计算简便：
(1) 如果加数的个数是双数, 可以用首尾两个加数相加的和乘以加数个数的一半； (2) 如果加数的个数是单数, 可以用中间那个加数乘以加数的个数。 试试看：(1) 1＋4＋7＋10＋13＋16＋19＋22＝?
(2) 310＋320＋330＋340＋350＋360＋370＋380＋390＝?
练 习 三
1. 用简便方法计算下面各题。
(1) 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
(2) 992＋993＋994＋995＋996＋997＋998＋999 (3) 1960＋1970＋1980＋1990＋2000＋2010
(4) 111＋222＋333＋444＋555＋666＋777＋888＋999 (5) 987＋876＋765＋654＋543＋432＋321
2. 下面是一个“乘法三角形”, 第一行表示: 一一得一；第二行表示: 一二得二,二二得四； ??认真观察发现规律, 把每一横行、从右上方到左下方每一斜行各数的和, 填在相应的括号里。
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