证明线段相等的技巧

证明线段相等的技巧

要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：

（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。 一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中 一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。

例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。

二、如果要证明的两条线段在同一三角形中 一般的思路是利用等角对等边。

例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。

三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况

一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。

例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。

例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。

分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。

证明线段和角相等的技巧

⒈ 怎样证明两线段相等

证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有： ⑴ 三角形

①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；

②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；

③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；

④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；

⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边； ⑵ 证特殊四边形

①平行四边形的对边相等、对角线互相平分； ②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等； ③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等； ⑶ 圆

①同圆或等圆的半径相等；

②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；

③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量

都相等；

④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等； ⑷ 等量代换：若a=b，b=c，则a=c； 等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若ac?bc，则a=b.

此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等. ⒉ 怎样证明两角相等

证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有： ⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等； ⑵ 证明两直线平行，同位角、内错角相等； ⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上； ⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；

⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一； ⑹ 平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； ⑺ 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；