第四章 环与域

第四章 环与域

§1 环的定义

一、主要内容

1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．

2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：

二、释疑解难

1．设R是一个关于

代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，· ，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为?，⊕，又R对? 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对?满足左、右分配律，即

就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．

2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“· ”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．

三、习题4．1解答 1．

2．

3．

4．

5．