第四章 环与域

§4．９环与域上的多项式环

一、主要内容

1．有单位元环R上多项式环R[x]的性质． 1) R[x]是整环?R是整环．

2) R[x]中多项式的除法——左、右商及左、右余式． 2．域F上多项式的根．

1) F上n次多项式在扩域内根的个数≤n；

2) F上多项式f(x)在扩域内无重根?(f(x)，f?(x))＝1．

二、释疑解难

1．本节均假定环R有单位元，但并未假定R可换．因此，在对R上的多项式在进行除法时，必须分左、右商和左、右余式．从本节习题中可知，一般说左右商不一定相等，左右余式也不一定相等．当然，如果R是交换环，它们则分别相等，就不必再分左与右了． 2．域上多项式的根的状况同我们所熟知的数域上多项式的情况一致．但是，环上多项式根的状况，由例子可知，就很不一样．例如，环R上一个n次多项式在R内可能无根(这种情况并不奇怪，因为例如有理数域上多项式在有理数域内也不一定有根)，也可能有多于n个的根(这种情况在数域或域上多项式不会发生)．不过，教材中除下一章惟一分解整环的多项式扩张外．主要用到场上的多项式．例如教材第六章中的最小多项式和多项式的分裂域就属于这种情况．

三、习题4．9解答

1.

2.

3. 解 经验算得知，f(x)在Z5上无根．

4.

5.

6.

§４．6 理 想

一、主要内容

1．左、右理想、理想的定义和例子．

2．单环的定义以及单环的一个重要性质． 设环R有单位元，则R上全阵环Rn×n的理想都是R中某个理想上的全阵环．由此可知： Rn×n是单环?R是单环．

特别，除环和域上的全阵环都是单环．

3．由环中元素山a１，a２，?，am生成的理想〈a１，a２，?，am〉．特别，由一个元素a生成的主理想〈a〉．

在一般情况下，主理想〈a〉中元素的表达形式．在特殊环(交换环和有单位元的环)中〈a〉的元素表达形式如下：

1) 在有单位元的环R中：

4．理想的和与积仍为理想．

二、释疑解难

1．关于理想的乘法．

我们知道，如果A，B是群G的二子集或(正规)子群，则A与B的乘积是如下规定的：

AB＝｛aba∈A,，b∈B｝．

但当A，B是环R的理想时，如果仍按以上规定相乘，则一般而言其乘积AB不再是理想．由

于这个原因，环中理想的乘法规定为

AB＝｛有限和?aibiai∈A,，bi∈B｝．

2．对任意环R，则R至少有平凡理想｛０｝和R．通常把R本身叫做R的单位理想，这是由于以下原因：对R的任意理想N，显然都有

RN?N， NR?N．

但当R有单位元时，则显然又有RN?N， NR?N．从而有 RN＝NR＝N．

这就是说，此时R在理想乘法中的作用类似于数1在数的乘法中的作用． 3．设R为任意环，a∈R．则易知 N＝｛rar?R｝ 是R的一个左理想．若R是交换环，则当然

．但是应注意，由于R不一定有单位元，

故不一定有a∈N．从而也不能说N是由a生成的理想．

例１ 设R为偶数环，a＝4，则

三、习题4．6解答 1. 证 略．

2. 证 1) 略．2) 由于

3.

4. 证 参考上面“释疑解难”部分3． 5.