(完整版)中考总复习整式与因式分解

中考总复习：整式与因式分解

【考纲要求】

1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；

2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、整式 1.单项式

数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：

（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2.多项式

几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的． 要点诠释：

（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

3.整式 单项式和多项式统称整式．

4.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减

整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

6.整式的乘除

①幂的运算性质：

②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：

④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： 平方差公式：

完全平方公式：

在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 要点诠释：

（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即am?an?ap?am?n?p（m,n,p都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即am?n?am?an（m,n都是正整数）.

（4）公式(am)n?amn的推广：((am)n)p?amnp(a?0，m,n,p均为正整数)

（5）逆用公式：amn??am???an?，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂

nm变形，从而解决问题.

（6）公式(ab)n?an?bn的推广：(abc)n?an?bn?cn(n为正整数).

（7）逆用公式：anbn??ab?逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒

?1??1?数时，计算更简便.如：???210???2??1.

?2??2?1010n（8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的

项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘，

?x?a??x?b??x2??a?b?x?ab.

考点二、因式分解

1.因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．

2.因式分解常用的方法

（1）提取公因式法：ma?mb?mc?m(a?b?c) （2）运用公式法：

平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)；完全平方公式：a2?2ab?b2?(a?b)2 （3）十字相乘法：x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解.

（5）添、拆项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

（6）运用求根公式法：若ax2?bx?c?0(a?0)的两个根是x1、x2，则有：

ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2).

3.因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 要点诠释：

（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．

（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

（5）分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 四项 分组分解五项 法 六项 【典型例题】

类型一、整式的有关概念及运算

1．若多项式x2+ax+8和多项式x2-3x+b相乘的积中不含x2、x3项，求（a-b）3-（a3-b3）的值．

分组方法 二项、二项 三项、一项 三项、二项 三项、三项 二项、二项、二项 三项、二项、一项 特点 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 先完全平方公式后平方差公式 各组之间有公因式 各组之间有公因式 可化为二次三项式 【思路点拨】

多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a、b等式，求出a、b后再求代数式值． 【答案与解析】

解：∵（x2+ax+8）（x2-3x+b）=x4+（a-3）x3+（b-3a+8）x2+（ab-24）x+8b， 又∵不含x2、x3项， ∴a-3=0，b-3a+8=0， 解得a=3，b=1，

∴（a-b）3-（a3-b3）=（3-1）3-（33-13）=8-26=-18．

【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式依据乘法法则展开，合并同类项，根

据不含某一项就是这一项的系数等于0再通过解方程（组）求解．

2．设m2＋m－2＝0，求m3＋3m2＋2012的值．

322

【思路点拨】可以把m＋3m＋2012及m＋m－2＝0变形． 【答案与解析】

由m2＋m－2＝0，得m2＝2－m，m2＋m＝2， 原式＝m2·m＋3m2＋2012 ＝（2－m）·m＋3m2＋2012＝2m－m2＋3m2＋2012＝2（m2＋m）＋2012＝2×2＋2012＝2016

【总结升华】要多探索方法，寻求新颖简捷的方法．

13．已知x2m?5，求x6m?5的值．

5111【答案与解析】∵x2m?5，∴x6m?5?(x2m)3?5??53?5?20．

555【点评】（1）逆用幂的乘方法则：amn?(am)n?(an)m．

（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力． 举一反三：

【变式】已知xa?2，xb?3．求x3a?2b的值．

【答案】x3a?2b?x3agx2b?(xa)3g(xb)2?23?32?8?9?72． 类型二、因式分解

4．多项式x2?2xy?2y2?2y?5的最小值是____________. 【答案】4；

【解析】x2?2xy?2y2?2y?5??x?y???y?1??4，所以最小值为4. 【点评】通过因式分解化为完全平方式，分析得出多项式的最小值. 5．把3ax?4by?4ay?3bx分解因式． 【答案与解析】

解

法

一

：

223ax?4by?4ay?3bx?(3ax?4ay)?(4bx?4by)?a(3x?4y)?b(3x?4y)?(3x?4y)(a?b)．

解法二：3ax?4by?4ay?3bc?(3ax?3bx)?(4ay?4by)?3x(a?b)?4y(a?b)?(a?b)(3x?4y)．

【点评】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项

合为一组，如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式a和b，

并且另一个因式都是(3x?4y)，因此可继续分解．把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各组在分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可以用分组法来分解因式．

举一反三：

【变式1】分解因式：a2?4b2?4ab?c2

【答案】原式?(a2?4ab?4b2)?c2??a?2b??c2??a?2b?c??a?2b?c?. 【变式2】(1)16x2－(x2＋4)2；(2)?x2?4.

【答案】

(1)原式＝(4x)2－(x2＋4)2

＝[4x＋(x2＋4)][4x－(x2＋4)]＝－(x2＋4x＋4)(x2－4x＋4)＝－(x＋2)2(x－

2)2．

(2)原式??(x2?16)??(x?4)(x?4). 类型三、因式分解与其他知识的综合运用

6．若a、b、c为三角形的三边边长，试判断(a2?b2?c2)2?4a2b2的正负状况．

【思路点拨】将原式用公式法分解因式，再由三角形三边的关系确定每个因式的符号，最后就能得出结果的符号. 【答案与解析】

?[(a?b)2?c2][(a?b)2?c2]?(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)．

1414142依三角形两边之和大于第三边，知a?b?c?0，a?b?c?0，a?b?c?0， 故(a2?b2?c2)2?4a2b2?0．

【点评】将原式分解因式，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断

每个因式的正负.

举一反三：

【变式1】若△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足a2?16b2?c2?6ab?10bc?0，求证：

a?c?2b.

【答案】a2?16b2?c2?6ab?10bc

所以?a?3b???5b?c??0 所以a?3b??(5b?c)

所以a?c?2b或8b?c?a

因为△ABC的三边长分别为a、b、c，c?a?b， 所以8b?c?a?b，矛盾，舍去. 所以a?c?2b.

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