1．2.3 简单复合函数的导数
[对应学生用书P11]
π
2x＋?，g(x)＝(3x＋2)2. 已知函数f(x)＝sin?6??问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．
问题2：试说明g(x)＝(3x＋2)2是如何复合的？
提示：函数g(x)＝(3x＋2)2是由 g(u)＝u2，u＝3x＋2复合而成的． 问题3：试求g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x＋2的导数． 提示：g′(x)＝[(3x＋2)2]′＝[9x2＋12x＋4]′＝18x＋12.g′(u)＝2u，u′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g′(x)＝g′(u)·u′.
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.
1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．
[对应学生用书P11]
复合函数的求导 [例1] 求下列函数的导数． (1)y＝(2)y＝e
1
；
?2x＋3?3
－0.05x＋1
；
(3)y＝cos(ωx＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y＝log2(5－3x)．
[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．
[精解详析] (1)y＝133
＝(2x＋3)－是函数y＝u－，u＝2x＋3的复合函数，
22?2x＋3?3
3
所以y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(2x＋3)′
23555＝－u－·2＝－3u－＝－3(2x＋3)－. 2222 (2)y＝e
－0.05x＋1
是函数y＝eu，u＝－0.05x＋1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－
0.05x＋1)′
＝－0.05eu＝－0.05e
－0.05x＋1
.
(3)y＝cos(ωx＋φ)是y＝cos u，u＝ωx＋φ的复合函数， 所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(ωx＋φ)′ ＝－sin u·ω＝－ωsin(ωx＋φ)．
(4)y＝log2(5－3x)是y＝log2u，u＝5－3x的复合函数， 1所以y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′·(5－3x)′＝－3·
uln 2＝
－33
＝.
?5－3x?ln 2?3x－5?ln 2
[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．
1
1．若函数f(x)＝ln，则f′(x)＝________.
x11
解析：f(x)＝ln是f(u)＝ln u与u＝的复合函数，
xx
?1?′ 所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·?x?1?1?1
－2＝－. ＝·
u?x?x1答案：－
x
2．函数y＝sin3x＋sin x3的导数为________．
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