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带电粒子在复合场中的运动（教案）
1．（易）在图所示的坐标系中，x轴水平，y轴垂直，x轴上方空间只存在重力场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面向里的匀强磁场，在第Ⅳ象限由沿x轴负方向的匀强电场，场强大小与第Ⅲ象限存在的电场的场强大小相等。一质量为m，带电荷量大小为q的质点a，从y轴上y=h处的P1点以一定的水平速度沿x轴负方向抛出，它经过x= -2h处的P2点进入第Ⅲ象限，恰好做匀速圆周运动，又经过y轴上方y= -2h的P3点进入第Ⅳ象限，试求：
⑴质点a到达P2点时速度的大小和方向；
⑵第Ⅲ象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小； ⑶质点a进入第Ⅳ象限且速度减为零时的位置坐标
解：（2分）如图所示。
（1）质点在第Ⅱ象限中做平抛运动，设初速度为v0，由
h?12gt……① （2分） 22h=v0t…… ② （2分） 解得平抛的初速度
v0?2gh （1分）
vy?gt?2gh（1分）
在P2点，速度v的竖直分量 所以，v=2
gh，其方向与x轴负向夹角 θ=45° （1分）
（2）带电粒子进入第Ⅲ象限做匀速圆周运动，必有 mg=qE……③ （2分）
又恰能过负y轴2h处，故P2P3为圆的直径，转动半径
R=
2?OP2?22?2h?2h …… ④（1分） 2……⑤ （2分）． 可解得 E =mg/q （1分）； B = m又由
v2qvB?mRq2g（2分） h（3）带电粒以大小为v，方向与x轴正向夹45°角进入第Ⅳ象限，所受电场力与重力的合力为相反，故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大小为a，则：
2mg，方向与过P3点的速度方向
2mgv24gh22a??2g…… ⑥（2分）； 由O?v??2as,得s???2h（2分）
m2a22g 由此得出速度减为0时的位置坐标是
?h,?h?（1分）
2．（易）如图所示的坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向在x轴上空间第一、第二象限内，既无电场也无磁场，
在第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面（纸面）向里的均强磁场，在第四象限，存在沿y轴负方向、场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带电质点，从y轴上y=h处的P1点以一定的水平初速度沿x轴负方向进入第二象限。然后经过x轴上x= -2h处的P2点进入第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运动．之后经过y轴上y= －2h处的P3点进入第四象限。已知重力加速度为g．求： （1）粒子到达P2点时速度的大小和方向；
（2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小；
（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向。
解：（1）参见图,带电质点从P1到P2，由平抛运动规律 h?1gt2…①（2分）； v0=2h/t……②
2（1分）
22vy?gtvy=gt……③（1分） 求出v?vO?vy?2gh……④（2分）
方向与x轴负方向成45°角……（1分）
（2）质点从P2到P3，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力
Eq=mg……⑤（1分）；Bqv?mv……⑥（2分）
2R(2R)2?(2h)2?(2h)2……⑦（2分）；
由⑤解得E?mg（2分） q1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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联立④⑥⑦式得B?m2g……（2分）
qh即v在水平方向的分量vmin=vcos45°=
（3）质点进入等四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动. 当竖直方向的速度减小到0，此时质点速度最小，
2gh……（2分）
方向沿x轴正方向……2分）
3．（易）如图所示，在xoy平面的第一、第三和第四象限内存在着方向竖直向上的大小相同的匀强电场，在第一和第四象限内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m，电量为+q的带电质点，在第三象限中以沿x轴正方向的速度v做匀速直线运动，第一次经过y轴上的M点，M点距坐标原点O的距离为L；然后在第四象限和第一象限的电磁场中做匀速圆周运动，质点第一次经过x轴上的N点距坐标原点O的距离为3L。已知重力加速度为g，求： ⑴匀强电场的电场强度E的大小。 ⑵匀强磁场的磁感应强度B的大小。（中易）
⑶质点第二次经过x轴的位置距坐标原点的距离d的大小。
解：⑴带电质点在第三象限中做匀速直线运动，电场力与重力平衡， 则：qE=mg 得：E=mg/q
⑵设质点做匀速圆周运动的半径为R，则：
R2=(R－L)2+(3L)2 解得：R=2L
v2由qvB=mR； 得：R=mvmv．联立解得：B? qB2qL⑶质点在第二象限做平抛运动后第二次经过x轴，设下落的高度为h，则：h由平抛运动的规律有：h解得：d=v=2R－L=3L
=12d?vt． gt；
26L g4．（中）如图所示，在xOy坐标系的第Ⅱ象限内，x轴和平行x轴的虚线之间(包括x轴和虚线)有磁感应强度大小为B1=2×10—2T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，虚线过y轴上的P点，OP=1.0m，在x≥O的区域内有磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场。许多质量m=1.6×10—25kg、电荷量q=+1.6×10—18C的粒子，以相同的速率v=2×105m/s从C点沿纸面内的各个方向射人磁感应强度为B1的区域，OC=0.5 m．有一部分粒子只在磁感应强度为B1的区域运动，有一部分粒子在磁感应强度为B1的区域运动之后将进入磁感应强度为B2的区域。设粒子在B1区域运动的最短时间为t1，这部分粒子进入磁感应强度为B2的区域后在B2区域的运动时间为t2，已知t2=4t1。不计粒子重力．求：
(1)粒子在磁感应强度为B1的区域运动的最长时问t0=?（中） (2)磁感应强度B2的大小 （中）
解：（1）设粒子在磁感应强度为B1的区域做匀速圆周运动的半径为r，周期为T1，则 r =r=mv/qB1 ……（1分）, r = 1.0 m ……（1分）； T1 ==2 π m /qB1…… （1分） 由题意可知，OP = r，所以粒子沿垂直x轴的方向进入时，在B1区域运动的时间最长为半个周期，即 t0 =T1/ 2 ……（2分）， 解得t0 = 1.57×10–5 s ……（2分）
（2）粒子沿+x轴的方向进入时，在磁感应强度为B1的区域运动的时间最短，这些粒子在B1和B2中运动的轨迹如图所示，在B1中做圆周运动的圆心是O1，O1点在虚线上，与y轴的交点是A，在B2中做圆周运动的圆心是O2，与y轴的交点是D，O1、A、O2在一条直线上。
由于OC =
1r ……（1分）；所以∠AO1C = 30°……2分） 2则t1=T1/12 ……（2分）
设粒子在B2区域做匀速圆周运动的周期为T2，则 T2 =
2?m ……（1分） qB2
由于∠PAO1 =∠OAO2 =∠ODO2 = 30°……（1分） 所以∠AO2D = 120°……（2分） 则t2 =2T2 ……（2分），
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由t2 = 4 t1 ， 解得B2 = 2B1 ……（1分）．B2 = 4×10–2 ……（1分）
5．（中）如图所示，在xoy坐标平面的第一象限内有一沿y轴正方向的匀强电场,在第四象限内有一垂直于平面向外的匀强磁场．现有一质量为m，电荷量为q的负粒子（重力不计）从坐标原点o射入磁场，其入射方向与y轴负方向成45°角．当粒子运动到电场中坐标为（3L，L）的P点处时速度大小为v0，方向与x轴正方向相同．求：
（1）粒子从O点射人磁场时的速度v． （2）匀强电场的场强E
（3）粒子从O点运动到P点所用的时间．（中）
解： （1）v=v0/cos45°=2v0 （2）因为v与x轴夹角为45°，由动能定理得：
1212mv0?mv??qEL, 解得 E =mv02/2qL 22（3）粒子在电场中运动L =
12at2，a =qE/m 解得：t2=2L/v0 2粒子在磁场中的运动轨迹为l/4圆周，所以 R =( 3L—2L)/
2 = 2L/2
1?2?R/v0??L/4v0 2 粒子在磁场中的运动时间为：t1=
粒子从O运动到P所用时闯为：t=t1+t2=L(π+8)/4vo
6．（中）如图所示，x轴上方存在磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外（图中未画出）。x轴下方存在匀强电场，场强大小为E，方向沿与x轴负方向成60°角斜向下。一个质量为m，带电量为＋e的质子以速度v0从O点沿y轴正方向射入匀强磁场区域。质子飞出磁场区域后，从b点处穿过x轴进入匀强电场中，速度方向与x轴正方向成30°，之后通过了b点正下方的c点。不计质子的重力。 （1）画出质子运动的轨迹，并求出圆形匀强磁场区域的最小半径和最小面积；（中）
（2）求出O点到c点的距离。（中）
【解析】（1）质子先在匀强磁场中做匀速圆周运动，射出磁场后做匀速直线运动，最后进入匀强电场做类平抛运动，轨迹如图所示.根据牛顿第二定律，有ev0B = m2v0 R（2分）
要使磁场的区域面积最小，则Oa为磁场区域的直径，由几何关系可知： r =Rcos30° （4分）
求出圆形匀强磁场区域的最小半径r?圆形匀强磁场区域的最小面积为Smin3mv0 （2分） 2eB23?m2v02（1分） ??r?224Be（2）质子进入电场后，做类平抛运动，垂直电场方向： s sin30°=v0t（3分） 平行电场方向：scos30°=a t2 / 2，（3分）由牛顿第二定律eE=ma， （2分）
22223mv43mv43mv2000解得：s?。O点到c点的距离：d?Ob?bc?()?()2
eEBeeE7．（中）如图所示，坐标系xOy位于竖直平面内，在该区域内有场强E=12N/C、方向沿x轴正方向的匀强电场和磁
感应强度大小为B=2T、沿水平方向且垂直于xOy平面指向纸里的匀强磁场．一个质量m=4×10—5kg，电量q=2.5×10—5C带正电的微粒，在xOy平面内做匀速直线运动，运动到原点O时，撤去磁场，经一段时间后，带电微粒运动到了x轴上的P点．取g＝10 m/s2，求：
（1）带电微粒运动的速度大小及其跟 x轴正方向的夹角方向．（中） （2）带电微粒由原点O运动到P点的时间．（中）
解：微粒运动到O点之前要受到重力、电场力和洛仑兹力作用，在这段时间内微粒做匀速直线运动，说明三力合力为零．由此可得
FB2?FE2?(mg)2 ①………（2分）
电场力
FE?Eq ②………（2分）
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洛仑兹力
FB?Bqv…… ③（2分）
联立求解、代入数据得 v=10m/s …… ④（2分）
微粒运动的速度与重力和电场力的合力垂直,设该合力与y轴负方向的夹角为θ, 则:
tan??FEmg
…… ⑤（2分）；代入数据得tanθ= 3/4 ,θ = 37°
x轴正方向的夹角为θ = 37°……⑥（2分）
微粒运动到O点之后，撤去磁场，微粒只受到重力、电场力作用，其合力为一恒力，且方向与微粒在O点的速度方向垂直，所以微粒在后一段时间内的运动为类平抛运动，可沿初速度方向和合力方向进行分解．
设沿初速度方向的位移为s1，沿合力方向的位移为s2，则因为 s1=v t …… ⑦
22s1FE?(mg)2s2?t ……⑧ tan??2s12m 带电微粒运动的速度与
……⑨
联立⑦⑧⑨求解，代入数据可得: O点到P点运动时间 t＝1．2 s …⑩
8．（中）如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直纸面向里，
大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ为30°，且斜向上方，现有一质量为m电量为q的质子，以速度为v0由原点沿与x轴负方向的夹角θ为30°的方向射入第二象限的磁场，不计质子的重力，磁场和电场的区域足够大，求：
（1）质子从原点到第一次穿越x轴所用的时间。 （2）质子第一次穿越x轴穿越点与原点的距离。
（3）质子第二次穿越x轴时的速度的大小、速度方向与电场方向的夹角。（用反三角函数表示）
解：（1）由题意可知，t=T/6……① T=
2?rv0……② 2πm/qB =πm/3qB……③；
2v0qv0B=m
r……④ 易知△AOB为等边三角形
第一次穿越x轴，穿越点与原点距离x=r=mv0/qB……⑤ A时速度方向与x轴夹30°角方向与电场方向垂直，在电场中类平抛：v0 = at……⑥
由几何关系知：
at2/2?tan30??3/3……⑦ v0t v2=at=23v0/3……⑧
2v12?v2?7/3v0…⑨
第一次穿越x轴的速度大小v=与电场方向夹角θ=arcsin
7/3……⑩
9．（易）如图所示，在地球表面附近有一范围足够大的互相垂直的匀强电场和匀强磁场。
磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向里。一质量为m、带电荷量为+q的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀速圆周运动。（该区域的重力加速度为g） （1）求该区域内电场强度的大小和方向。 （2）若某一时刻微粒运动到场中距地面高度为H的A点，速度与水平向成45°，如图所示。则该微粒至少需经多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？ （3）在（2）间中微粒又运动A点时，突然撤去磁场，同时电场强度大小不变，方向变为水平向左，则该微粒运动中距地面的最大高度是多少？
解：（1）带电微粒在做匀速圆周运动，电场与重力应平衡，因此
mg = Eq ①（2分）
解得：E?mgq…… ②（2分） 方向：竖直向上 （2分）
v2（2）该微粒做匀速圆周运动，轨道半径为R，如图．qBv = m
R
解得：Hm = H +mv(1?…… ③（2分）
最高点与地面的距离为：Hm = H + R ( 1 + cos 45°) ……④（2分）
Bq2……⑤ （2分） )24文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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该微粒运动周期为：T =2?m……⑥ （2分）
Bq运动到最高点所用时间为：t?3T?3?m……⑦
84Bq（2分）
⑧（2分）
（3）设该粒上升高度为h，由动能定理得：
1?mgh?Eqhcot45??0?m?2……
2222m?vv解得：h?……⑨（2分）；该微粒离地面最大高度为：H + ?2(mg?Eq)5g4g……⑩（2分）
10．（中难）在倾角为30°的光滑斜面上有相距40m的两个可看作质点的小物体P和Q，
质量分别100g和500g，其中P不带电，Q带电。整个装置处在正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度的大小为50V/m，方向竖直向下；磁感应强度的大小为5π(T)，方向垂直纸面向里。开始时，将小物体P无初速释放，当P运动至Q处时，与静止在该处的小物体Q相碰，碰撞中两物体的电荷量都保持不变。碰撞后，两物体能够再次相遇。其中斜面无限长，g取10m/s2。求：
（1）试分析物体Q的带电性质及电荷量；
（2）物体P、Q第一次碰撞后，物体Q可能的运动情况，此运动是否为周期性运动？若是，物体Q的运动周期为多大？
（3）物体P、Q第一次碰撞过程中由物体P和Q组成的系统损失的机械能。（难）
解：（20分）（1）对物体Q，在碰撞之前处于静止状态，由平衡条件有 m2g =qE 得q =0.1C，且物体Q带负电
（2）物体P、Q碰撞之后，物体Q受重力、电场力、洛伦兹力的作用，由于重力和电场力等大反向，故物体Q将在斜面上方做匀速圆周运动.
对物体Q，匀速圆周运动的周期：T?2?m?2s qB（3）要使P、Q能够再次相遇，则相遇点一定为P、Q的第一次碰撞点,物体P在碰撞后一定反向弹回，再次回到碰撞点时再次相遇。
对物体P，从释放到与Q碰撞之前，由运动学公式有： v0—0=2gsimθ·s 得v0=20m/s 对物体P和Q，在碰撞过程中，动量守恒有 碰撞过程中，系统损失的能量为
对物体P，时间关系：2v1?kT (kgsin?2m1v0?m2v2?m1v1
?1，2，3，??)
当k=1时，v1=5m/s，v2=5m/s，△E=12.5J
当k=2时，v1=10m/s，v2=6m/s，△E=6J
当k=3时，v1=15m/s，v2=7m/s，系统总动能增加，不满足能量守恒定律。
综上所述，碰撞过程中由物体P和Q组成的系统损失的机械能可能为12.5J或6J.
11．（易）如图所示，直角坐标中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，在–x轴上的a点以速度v0与–x轴成60°度角射入磁场，从y = L处的b点垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x = 2L处的c点。不计重力。求
（1）磁感应强度B的大小； （2）电场强度E的大小；
（3）粒子在磁场和电场中的运动时间之比。
解：（1）带电粒子在磁场运动由轨迹可知：r =2L/3 （2分）
又因为
2v0qv0B =mr （2分） （2分）
解得：B =3mv0
2qL
（2）带电粒子在电场中运动时，沿x轴有：2L = v0t2 （1分）
212mv0 沿y轴有：L =at2 （1分） 又因为qE = ma （2分） 解得：E =（2分） 22qL（3）带电粒子在磁场中运动时间为t =1?2??4?L （2分）
3v09v0 带电粒子在电场中运动时间为：t2 =2L/v0
（2分）
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