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新人教版九年级数学知识点归纳总结

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新人教版九年级数学知识点归纳总结

第二十一章 一元二次方程

21.1 一元二次方程

在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程. (4)将方程化为一般形式:ax+bx+c=0时,应满足(a≠0)

2

2

21.2 降次——解一元二次方程

1.一元二次方程的解法

22(x?a)?bx?a(1)直接开平方法:根据平方根的意义,用此法可解出形如(a≥0),(b≥0)类的2a)2?ba??b,x?a?b.对有些一元二次方程,本一元二次方程.x?a,则x??a;(x?,x?2a)2?b身不是上述两种形式,但可以化为x?a或(x?的形式,也可以用此法解.

(2)因式分解法:当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,就可用此法来解.要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0,使方程x(x-3)=0的条件是x=0或x-3=0.x的两个值都可以使方程成立,所以方程x(x-3)=0有两个根,而不是一个根.

2(3)配方法:任何一个形如x?bx的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一

6x?7?0个二项式的完全平方,把方程归结为能用直接开平方法来解的方程.如解x?时,可把方程66????x?6x???7?????22(x?3)?2,从而得解. 22????x?6x??7化为,,即

2222注意:(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1.

(2)解一元二次方程时,一般不用此法,掌握这种配方法是重点.

?bx?c?04ac?0(3)公式法:一元二次方程ax(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.在b?22?b?b2?4acx?2a的前提下,.用公式法解一元二次方程的一般步骤:

?bx?c?0①先把方程化为一般形式,即ax(a≠0)的形式;

②正确地确定方程各项的系数a、b、c的值(要注意它们的符号);

4ac?0③计算b?时,方程没有实数根,就不必解了(因负数开平方无意义);

22④将a、b、c的值代入求根公式,求出方程的两个根.

说明:象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程,而公式法则是最普遍,最适用的方法.解题时要根据方程的特征灵活选用方法.

2.一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况:①有两个不相等的实数根;②有两个相等的实数根;③没有实数

?b?4acac的值来确定.因此??bx?c?0根.而根的情况,由b?4叫做一元二次方程ax的根的判

别式.

△>0?方程有两个不相等的实数根. △=0?方程有两个相等的实数根. △<0?方程没有实数根. 判别式的应用

222(1)不解方程判定方程根的情况;

(2)根据参数系数的性质确定根的范围; (3)解与根有关的证明题. 3.韦达定理及其应用

bcx?x??,x?x?1212?bx?c?0aa定理:如果方程ax(a≠0)的两个根是x1,x2,那么.

2?x??b,x?x?c1212当a=1时,x.

应用:

(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;

(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数; (3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程; (4)已知两数和与积求两数. 4.一元二次方程的应用

(1)面积问题; (2)数字问题;

(3)平均增长率问题.

步骤:

①分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的); ②设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数; ③找出相等关系,并用它列出方程; ④解方程求出题中未知数的值;

⑤检验所求的答数是否符合题意,并做答.

这里关键性的步骤是②和③.

注意:列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展,解题的方法是相同的,但因一元二次方程有两解,要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义.

第二十二章 二次函数

22.1二次函数及其图像

二次函数概念

一般地,把形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0,b,c可以为0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像

是轴对称图形。对称轴为直线,顶点坐标

,交点式为。

(仅限于

与x轴有交点和的抛物线),与x轴的交点坐标是

注意:“变量”不同于“自变量”,不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别,如同函数不等于函数的关系。

二次函数公式大全

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式

一般式:y=ax2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h)2;+k [抛物线的顶点P(h,k)]

交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-b±√b2;-4ac)/2a III.二次函数的图象

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象, 可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。 IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P,坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b2;)/4a ]。

当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b2-4ac=0时,P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c) 6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程

特别地,二次函数(以下称函数)y=ax2;+bx+c,

当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax2;+bx+c=0

此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 例1,二次函数

配方为

的形式,则

()

用函数观点看一元二次方程

2y?ax?bx?c1. 如果抛物线与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x?x0时,函数的值是0,因此x?x0x?bx??c0就是方程a的一个根。

2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。

2实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

第二十三章 旋转

23.1 图形的旋转

1. 图形的旋转

(1)定义:在平面内,将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角称为旋转角。

图形的旋转

本节我们重点了解旋转、平移性质,除外还有一个重点是点的对称变换。

二、知识要点

1、旋转:将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中,O叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。

2、旋转性质

① 旋转后的图形与原图形全等 ② 对应线段与O形成的角叫做旋转角 ③ 各旋转角都相等

3、平移:将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中,该直线的方向叫做平移方向,该距离叫做平移距离。

4、平移性质

① 平移后的图形与原图形全等

② 两个图形的对应边连线的线段平行相等(等于平行距离) ③ 各组对应线段平行且相等

5、中心对称与中心对称图形

① 中心对称:若一个图形绕着某个点O旋转180°,能够与另一个图形完全重合,则这两个图形关于这个点对

称或中心对称。其中,点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

② 中心对称图形:若一个图形绕着某个点O旋转180°,能够与原来的图形完全重合,则这个图形叫做中心对称图形。其中,这个点叫做该图形的对称中心。 6、轴对称与轴对称图形

(1)、轴对称:若两个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中,这条轴叫做对称轴。

注:轴对称的性质:① 两个图形全等;② 对应点连线被对称轴垂直平分

(2)轴对称图形:若一个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,则这个图形叫做轴对称图形。

7、点的对称变换

(1)、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y) (2)、关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P'(x,-y) (3)、关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P'(-x,y) (4)、关于直线y=x对称

两个点关于直线y=x对称时,横坐标与纵坐标与之前对换,即:P(x,y)关于直线y=x的对称点为P'(y,x) (5)、两个点关于直线y=-x对称时,横坐标与纵坐标与之前完全相反,即:P(x,y)关于直线y=x的对称点为P'(-y,-x)

注:y=x的直线是过一三象限的角平分线,y=-x的直线是过二四象限的角平分线。

第二十四章 圆

24.1 圆

定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 (2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆。 圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心 (2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。 (3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。

(4) 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注:圆心一般用字母O表示

直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

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