第五节二次函数与幂函数
1．幂函数 (1)幂函数的定义
一般地，形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象
排列特点：第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”. 图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一α 象限内，逆时针方向指数在增大； 定交于坐标原点． －1三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝x的图象，且在第一1(2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x轴，类似于y＝x的图象； 2(3)当α>1时，函数图象倾向y轴，类似于y＝x的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大. (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 对于形如f(x)＝x(其中m∈N，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的3种形式 ①一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质
1
2
2
3nm*
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 值域 对称轴 顶点坐标 奇偶性 R ?4ac－b，＋∞? ?4a???bx＝－ 2a2?－∞，4ac－b? ??4a??2?－b，4ac－b? ?2a4a???当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 在?－∞，－?上是减函数； 在?－∞，－?上是增函数； 2a?2a???在?－，＋∞?上是增函数 ?2a? [熟记常用结论] 2?b??b?单调性 ?b?在?－，＋∞?上是减函数 ?2a??b?
关于二次函数的几个常用结论
(1)关于函数f(x)＝a(x－h)＋k(a>0)，x∈[p，q]的最值问题
若h∈[p，q]，则x＝h时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者；若h?[p，q]，则f(p)，f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值．
(2)根的分布问题
设函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)，若对区间[a，b]有f(a)≥0，f(b)≤0，则曲线必与x轴相交(至少有一个交点，且交点必在[a，b]上)．
设x1，x2是实系数一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a>0)的两根，根的分布对照y＝ax＋bx＋c(a>0)的图象，知其等价不等式组的关系是：
2
2
2
2
??fm>0，
①若x＜x＜m，则?
b－＜m；??2a1
2
Δ>0，
Δ>0，??fm>0，
②若m＜x＜x，则?
b－??2a>m；
1
2
2
??Δ>0，
③若x1＜m＜x2，则?
?fm＜0；?
12
??fm>0，
④若x，x∈(m，m)，则?fm>0，
b?m＜－?2a＜m；
1
2
1
2
1
2
Δ>0，
⑤若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内，
??Δ>0，
则?
?fm1?
fm2＜0.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) 1
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
3
(2)当n>0时，幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
4ac－b(4)二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
4a2
2
2
n(5)在y＝ax＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、选填题
2
?1?1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点?4，?，则f(2)＝( )
?2?
1
A. 4C.2 2
αB．4
D.2
解析：选C 设f(x)＝x，
11?1?α∵图象过点?4，?，∴f(4)＝4＝，解得α＝－，
22?2?∴f(2)＝2
?12＝
2
.故选C. 2
abcd2．若四个幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，
d的大小关系是( )
3
A．d>c>b>a C．d>c>a>b
B．a>b>c>d D．a>b>d>c
解析：选B 根据幂函数的性质及图象知选B.
3．已知函数f(x)＝ax＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( ) 1??A.?0，? ?20?C.?
1??B.?－∞，－? 20??
2
?1，＋∞?
?
?20?
2
?1?D.?－，0?
?20?
解析：选C ∵函数f(x)＝ax＋x＋5的图象在x轴上方，
??a>0，∴?2
?Δ＝1－20a＜0，?
2
1
解得a>.
20
m4．函数f(x)＝(m－m－1)x是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为________．
解析：∵f(x)＝(m－m－1)x是幂函数， ∴m－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2. 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴m＝2. 答案：2
5．已知f(x)＝4x－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
2
2
2
m??2
解析：因为函数f(x)＝4x－mx＋5的单调递增区间为?，＋∞?，所以≤2，即m≤16.
8?8?
答案：(－∞，16]
考点一 [基础自学过关] 幂函数的图象与性质 [题组练透] 1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝( ) A．3 C.2－1
B．1－2 D．1
mm 4
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