1
解析：选C 设幂函数f(x)＝x，则f(9)＝9＝3，即α＝，所以f(x)＝x2＝x，
2
αα1所以f(2)－f(1)＝2－1，故选C.
2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m＋m－1)xA．－2 C．1或－2
2
2
－5m－3
为减函数，则实数m的值为( )
B．1
－1±5D．m≠
2
－5m－3
解析：选B 因为函数y＝(m＋m－1)x?m＋m－1＝1，?以???－5m－3＜0，
2
既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所
解得m＝1.
(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
3.幂函数y＝xm2-2m-3
A．－1 C．1
B．0 D．2
2
解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m－2m－3＝－4，满足要求．
421
4．已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为( )
555A．b＜a＜c C．c＜b＜a
B．a＜b＜c D．c＜a＜b
2
2
1111
解析：选C 因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，
5555知a>b>c，故选C.
11
5．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
22
1
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以
2
a＋1≥0，??
?3－2a≥0，??a＋1＜3－2a，
2
解得－1≤a＜.
3
2??答案：?－1，? 3??
5
[名师微点]
(1)幂函数y＝x的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
[口诀记忆]
幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；正幂递增负幂减，奇偶性质定左边.
考点二 [师生共研过关] 求二次函数的解析式 [典例精析] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数
图象恒过点1，1，单调牢记一象限；
αf(x)的解析式．
[解] 法一：(利用二次函数的一般式) 设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)． 4a＋2b＋c＝－1，??a－b＋c＝－1，
由题意得?
4ac－b??4a＝8，
2
2
2
a＝－4，??
解得?b＝4，
??c＝7.
故所求二次函数为f(x)＝－4x＋4x＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)．
2＋－11
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝. 221
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
2
2
?1?2
∴y＝f(x)＝a?x－?＋8.
?2?
?1?2
∵f(2)＝－1，∴a?2－?＋8＝－1，解得a＝－4，
?2??1?22
∴f(x)＝－4?x－?＋8＝－4x＋4x＋7.
?2?
法三：(利用二次函数的零点式)
6
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8， 即4a－2a－1－a＝8.
4a2
2
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x＋4x＋7.
[解题技法]
求二次函数解析式的策略
2
[过关训练]
1．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为____________．
解析：由题意可设函数f(x)＝ax＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x.
答案：f(x)＝x
2．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
解析：设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)＝ax＋2ax＋a，又f(x)＝ax＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x＋2x＋1.
答案：x＋2x＋1
3．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立， ∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， ∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.
7
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x－4x＋3.
考点三 [全析考法过关] 二次函数的性质及应用 [考法全析] 考法(一) 二次函数的单调性问题
[例1] (1)已知函数f(x)＝ax＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数
2
2
a的取值范围是( )
A．[－3,0) C．[－2,0]
2
B．(－∞，－3] D．[－3,0]
xx(2)函数f(x)＝x－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(b)与f(c)的大小关系是( )
A．f(b)≤f(c) C．f(b)>f(c)
xxxxB．f(b)≥f(c) D．与x有关，不确定
xx[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 3－a当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
2aa＜0，??
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知?3－a≤－1，??2a综上，a的取值范围为[－3,0]．
解得－3≤a＜0.
(2)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，则
bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则
3≥2≥1，∴f(3)≥f(2)；若x＜0，则3＜2＜1，∴f(3)>f(2)．∴f(3)≥f(2)，即
xxxxxxxxxxf(bx)≤f(cx)．故选A.
[答案] (1)D (2)A
考法(二) 二次函数的最值问题
[例2] 若函数f(x)＝ax＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，则a的值为________． [解析] f(x)＝a(x＋1)＋1－a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝3
； 8
③当a＜0时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．
8
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