答案：[0,4]
8．若函数f(x)＝x－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为________．
解析：∵函数f(x)＝x－2x＋1＝(x－1)的图象的对称轴为直线x＝1，且f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
∴当a≥1时，f(a)＝(a－1)＝4， ∴a＝－1(舍去)或a＝3；
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(a＋2)＝(a＋1)＝4，∴a＝1(舍去)或a＝－3； 当a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1时，f(1)＝0≠4. 故a的取值集合为{－3,3}． 答案：{－3,3}
9．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.
(1)求f(x)的表达式；
(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(－1)，求实数
2
2
2
2
2
k的取值范围．
解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称， 设f(x)＝a(x＋1)＋h＝ax＋2ax＋a＋h(a≠0)， 由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，a>0， 根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋， ∴|x1－x2|＝
2
2
hax1＋x2
2
2
－4x1x2＝
4h－＝2，
a解得a＝1，∴f(x)＝x＋2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]上单调递增， 又g(x)＝f(x)－kx＝x－(k－2)x. ∴g(x)图象的对称轴方程为x＝则
2
k－2
2
，
k－2
2
≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]．
2
10．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
13
??fx(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝?
?－f?
，x>0，
x，x＜0，
求F(2)
＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围． 解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
2a解得a＝1，b＝2，
??x＋1，x>0，2
∴f(x)＝(x＋1)，∴F(x)＝?2
?－x＋1，x＜0.?
2
b
2
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)－(－2＋1)＝8.
(2)由题可知，f(x)＝x＋bx，原命题等价于－1≤x＋bx≤1在(0,1]上恒成立， 11
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
2
22
xx11
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，
xx∴－2≤b≤0，故b的取值范围是[－2,0]．
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知函数f(x)＝x＋x＋c，若f(0)>0，f(p)＜0，则必有( ) A．f(p＋1)>0 C．f(p＋1)＝0
B．f(p＋1)＜0
D．f(p＋1)的符号不能确定
2
1
解析：选A 由题意知，f(0)＝c>0，函数图象的对称轴为直线x＝－，则f(－1)＝
2
f(0)>0，设f(x)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)，则－1＜x1＜x2＜0，根据图象知，x1＜p＜x2，故p＋1>0，则f(p＋1)>0.
2．已知幂函数f(x)＝(n＋2n－2)·x上是减函数，则n的值为( )
A．－3 C．2
B．1 D．1或2
2
2
n2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)
解析：选B 由于f(x)为幂函数，所以n＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.
3．已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围为( )
14
218
－2
A．[－2，2] C．[2,3]
2
B．[1，2] D．[1,2]
解析：选B 由于函数f(x)＝x－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t， 函数f(x)＝x－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减， 所以t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，0距对称轴x＝t最远，故要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只要f(0)－f(t)≤2即可，即1－(t－2t＋1)≤2， 求得－2≤t≤2.
再结合t≥1，可得1≤t≤2.故选B.
4．若函数f(x)＝x＋2ax＋2在区间[－5,5]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)＝(x＋a)＋2－a的图象的对称轴为直线x＝－a， 因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5. 故实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 答案：(－∞，－5]∪[5，＋∞)
5．已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．
解析：Δ＝4(a－2)－4a＝4a－20a＋16＝4(a－1)(a－4)．
(1)若Δ＜0，即1＜a＜4时，x－2(a－2)x＋a>0在R上恒成立，符合题意； (2)若Δ＝0，即a＝1或a＝4时，方程x－2(a－2)x＋a>0的解为x≠a－2， 显然当a＝1时，不符合题意，当a＝4时，符合题意；
(3)当Δ>0，即a＜1或a>4时，因为x－2(a－2)x＋a>0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，
1－2a－2＋a≥0，??
所以?25－10a－2＋a≥0，
??1＜a－2＜5，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解得3＜a≤5，
又a＜1或a>4，所以4＜a≤5. 综上，a的取值范围是(1,5]． 答案：(1,5]
(二)技法专练——活用快得分
6．[更换主元法]对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( )
15
2
A．(1,3) C．(1,2)
B．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
2
解析：选B 原题可转化为关于a的一次函数y＝a(x－2)＋x－4x＋4>0在[－1,1]上恒成立，
?x－2＋x－4x＋4>0，?－1
?只需2??1×x－2＋x－4x＋4>0
2
2
??x>3或x＜2，
????x>2或x＜1
?x＜1或x>3.故选B.
7．[分离参数法]方程x＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为( )
?23?A.?－，＋∞?
?5??23?C.?－，1? ?5?
2
B．(1，＋∞) 23??D.?－∞，－?
5??
2
2－x解析：选C 方程x＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解转化为方程a＝在区间[1,5]
x2－x2－x2上有解，即y＝a与y＝的图象有交点，又因为y＝＝－x在[1,5]上是减函数，
22
xxx?23?所以其值域为?－，1?，故选C.
?5?
(三)难点专练——适情自主选
8．函数f(x)＝－x＋3x＋a，g(x)＝2－x，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) C．[－2，＋∞)
B．[－ln 2，＋∞)
2
x2
?1?D.?－，0?
?2?
32x2
解析：选C 如图所示，在同一坐标系中画出y＝x＋1，y＝2，y＝x＋的图象，由图
2332x2x2
象可知，在[0,1]上，x＋1≤2＜x＋恒成立，即1≤2－x＜，当且仅当x＝0或x＝1时
223
等号成立，∴1≤g(x)＜，∴f(g(x))≥0?f(1)≥0?－1＋3＋a≥0?a≥－2，即实数a的
2取值范围是[－2，＋∞)，故选C.
9．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足
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