试卷类型：A
2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．
1．设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=
A．1+i B．1-i C．2+2i D．2-2i 解析:z?22(1-i)??1-i,故选B. 1?i(1?i)(1-i)222．已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x?y?1}，B={(x，y) |x，y为实数，且y=x}， 则A ∩ B的元素个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 解析:集合A表示由圆x2?y2?1上的所有点组成的集合;集合B表示直线y?x上的所有点组成的集体,由于直线经过圆内的点O(0,0),故直线与圆有两个交点,故选C.3．若向量a,b,c满足a//b,且a?c,则c?(a?2b)? A．4 B．3 C．2 D．0 解析:c?(a?2b)?c?a?c?2b?c?a?2c?b?0?0?0,故选D. 4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A．f(x)+|g(x)|是偶函数 B．f(x)-|g(x)|是奇函数 C．|f(x)| +g(x)是偶函数 D．|f(x)|- g(x)是奇函数 解析:因为 g(x)是R上的奇函数,所以|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)+|g(x)|是偶函数,故选A. ?0?x?2?5.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组?y?2给定.若??x?2yuuuuruuurM(x，y)为D上动点，点A的坐标为(2，1)．则z?OM?OA的最大值为 A.42 B.32 C.4 D.3 解:如图,区域D为四边形OABC及其内部区域, -12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1y21CBA12xO-1-2-3z?(x,y)?(2,1)?2x?y,即z为直线则y?-2x?z 的纵截距,显然当直线y?-2x?z经过点B(2,2)时,z取到最大值,
从而zmax?(2)2?2?4,故选C.6甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A.
1323 B. C. D. 2534
解析:设Ai(i?1,2)表示继续比赛时,甲在第i局获胜; B事件表示甲队获得冠军,
1113则B?A1?A1A2,?P(B)?P(A1)?P(A1A2)????,故选D.22247如图l—3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A.63 B.93 C.123 D.183 解析:由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体,底面是以3为边长的正方形,该六面体的高
22-1?3,?该几何体的体积为32?3?93,故选B.
8.设S是整数集Z的非空子集,如果?a,b?S,有ab?S,则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T?V?Z.且?a,b,c?T,有abc?T,?x,y,z?V,有xyz?V.则下列结论恒成立的是:A. T,V中至少有一个关于乘法是封闭 B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭C. T,V中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V中每一个关于乘法是封闭解析:由于T?V?Z,故整数1一定在T,V两个集合中的一个中,不妨设1?T,则?a,b?T,由于a,b,1?T,则a?b?1?T,即ab?T,从而T对乘法封闭;
另一方面,当T?{非负整数},V?{负整数}时,T关于乘法封闭,V关于乘法不封闭,故D不对; 当T?{奇数},V?{偶数}时,T,V显然关于乘法都是封闭的,故B,C不对.从而本题就选A.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每小题5分．满分30分.
(一)必做题(9—13题)
9.不等式x?1-x-3?0的解集是______.
解析:x?1-x-3?0?(x?1)?(x-3),?原不等式的解集为[1,??). 10.x(x-)7的展开式中，x4的系数是______ (用数字作答).
222x22解析:所求x4的系数即(x-)7展开式中x3项的系数,(x-)7展开式的通项为 xxr7-rr7-2r2Tr?1?C7x(-2x-1)r?(-2)rC7x,由7-2r?3得r?2,?x4的系数是(-2)2C7?84.11.等差数列?an?前9项的和等于前4项的和.若a1?1,ak?a4?0，则k? . (a1?a9)9(a1?a4)41?,?9a5?2(a1?a4),即9(1?4d)?2(2?3d),?d?-,22611 由1-(k-1)?1?3?(-)?0得:k?10.66解法二:S9?S4,?a5?a6?a7?a8?a9?0,?a7?0,从而a4?a10?2a7?0,?k?10.解法一:S9?S4,即12.函数f(x)?x-3x?1在x? 处取得极小值.
32
解析:f'(x)?3x2-6x?3x(x-2),?f(x)的单调递增区间为:(-?,0),(2,??),递减区间为(0,2),?f(x)在x?2处取得极小值.
13.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. 解析:根据题中所提供的信息,可知父亲与儿子的对应数据可列表如下:
父亲的身高(x) 儿子的身高(y) 173 170 170 176 176 182
x?173,y?176,?b??(xi?133i-x)(yi-y)?2(x-x)?ii?13?6?1,a?y-bx?176-173?1,22 (-3)?3?所以回归直线方程为y?x?3,从而可预测也他孙子的身高为182?3?185(cm).（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为??x?5cos??(0≤?＜?)和
??y?sin?52?x?t?4(t?R)，它们的交点坐标为 . ???y?t?x2?x?5cos?解析:将?(0≤?＜?)化为普通方程得:?y2?1(0?y?1,x?-5),5??y?sin?55425将x?t2,y?t代入得:t4?t2-1?0,解得t2?,?t?(Qy?t?0),4165555425x?t2???1,?交点坐标为(1,).4455
15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点P分别作圆 的切线和割线交圆于A,B,且PB?7，C是圆上一点使得
BC?5，则AB? .
解析:PA是圆的切线,??BAP??BCA,又?BAC??APB,ABPB??BAP与?BCA相似,从而?,
CBAB?AB2?PB?CB?7?5?35,?AB?35.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）
1?已知函数f(x)?2sin(x-),x?R
365?(1)求f()的值;
4?106???(2)设?,???0,?,f(3??)?,f(3??2?)?,求cos(???)的值.
2135?2?解:(1)f(5?5???)?2sin(-)?2sin?2.41264?105?12(2)f(3??)?2sin??,?sin??,???[0,],?cos??;21313213
?63?4f(3??2?)?2sin(??)?2cos??,?cos??,???[0,],?sin??.255251235416?cos(???)?cos?cos?-sin?sin???-??.13513565
17.（本小题满分13分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 175 180
y 75 80 77 70 81
（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的
优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数?的分布列及其均值
（即数学期望）.
解:(1)乙厂的产品数量为:98?5?35;14(2)从乙厂抽取的5件产品中,编号为2,5的产品是优等品,2 故可估计出乙厂生产的优等品的数量为:?35?14;5112C32C2C3C2361(3)?可以取值:0,1,2 ,P(??0)?2?,P(??1)??,P(??2)??,2210C510C5C510故?其分布列为:
? P 0 1 2 1 103614 ??的数学期望为E(?)?0??1??2??.
1010105
18. （本小题满分13分）
如图5，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长 为1的棱形，且?DAB?60,PA?PD?03 106 102,PB?2,
E,F分别是BC,PC的中点，
（1）证明：AD?平面DEF; （2）求二面角P-AD-B的余弦值.
解:(1)证明:设AD中点为H,连接PH,BH,?PA?PD,?PH?AD,13,AB?1,?DAB?600,可得出BH?,22从而AH2?BH2?AB2,?AH?HB,即AD?HB,AH??AD?平面PHB,又E,F分别是BC,BC的中点,?EF//PB,?EF//平面PHB,又显然BH//DE,?DE//平面PHB,又DE,EF?平面DEF,DE?EF?E,?平面DEF//平面PHB,?AD?平面PHB,?AD?平面DEF.
H
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