综合仿真练(五)
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.
证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是
CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD.
2．(2020·海安中学模拟)已知△ABC内接于单位圆，且(1＋tan A)(1＋tan B)＝2， (1)求角C；
(2)求△ABC面积的最大值． 解：(1)∵(1＋tan A)(1＋tan B)＝2 ∴tan A＋tan B＝1－tan A·tan B， ∴tan C＝－tan(A＋B)＝－
tan A＋tan B3π
＝－1，∴C＝.
1－tan Atan B4
(2)∵△ABC的外接圆为单位圆， ∴其半径R＝1
由正弦定理可得c＝2Rsin C＝2， 由余弦定理可得c＝a＋b－2abcos C，
代入数据可得2＝a＋b＋2ab≥2ab＋2ab＝(2＋2)ab， ∴ab≤22＋2
，
2
2
2
2
2
1122－1
∴△ABC的面积S＝absin C≤·＝，
2222＋2∴△ABC面积的最大值为
2－1
. 2
3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q43
x2y2
为椭圆C上两点，圆O：x＋y＝r(r>0)．
(1)若PF⊥x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程； 3
(2)若圆O的半径为3，点P，Q满足kOP·kOQ＝－，
4求直线PQ被圆O截得的弦长的最大值. 解：(1)因为椭圆C的方程为＋＝1，
43所以A(－2,0)，F(1,0)． 3??因为PF⊥x轴，所以P?1，±?， 2??
222
x2y2
?3?根据对称性，可取P?1，?，
?2?
1
则直线AP的方程为y＝(x＋2)，
2即x－2y＋2＝0.
由圆O与直线AP相切，得r＝422
所以圆O的方程为x＋y＝.
5(2)易知圆O的方程为x＋y＝3. 32
①当PQ⊥x轴时，kOP·kOQ＝－kOP＝－，
4所以kOP＝±
3
，xP＝±2， 2
2
2
25
，
此时得直线PQ被圆O截得的弦长为2.
②当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2≠0)， 3
首先由kOP·kOQ＝－，得3x1x2＋4y1y2＝0，
4即3x1x2＋4(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，
所以(3＋4k)x1x2＋4kb(x1＋x2)＋4b＝0.(*)
2
2
y＝kx＋b，??22
联立?xy＋＝1??43
2
2
消去y，
得(3＋4k)x＋8kbx＋4b－12＝0，
8kb4b－12
则x1＋x2＝－2，x1x2＝2，将其代入(*)式，
3＋4k3＋4k化简得2b＝4k＋3.
2
2
2
2
由于圆心O到直线PQ的距离d＝
|b|
k2＋1
，
2
，故当k＝0时，l有最大值k＋1
2
所以直线PQ被圆O截得的弦长l＝23－d＝为6.
2
4＋
综上，因为6>2，所以直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为6.
4．(2020·如皋中学模拟)如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝23，AD＝4.点P为材料ABCD内部一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝3，现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝150°，点M，N分别在边AB，AD上．
(1)设∠FPN＝θ，试将四边形材料AMPN的面积S表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；
(2)试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．
解：(1)在直角△NFP中，因为PF＝3，∠FPN＝θ， 所以NF＝3tan θ，
11
所以S△APN＝NA·PF＝(1＋3tan θ)×3.
22π
在直角△MEP中，因为PE＝1，∠EPM＝－θ，
3
?π?所以ME＝tan?－θ? ?3?
S△APM＝MA·PE＝?3＋tan?－θ??×1.
3
31?π??π?所以S＝S△APN＋S△APM＝tan θ＋tan?－θ?＋3，θ∈?0，?，
3?22?3??31?π?(2)因为S＝tan θ＋tan?－θ?＋3
22?3?3
＝tan θ＋22
3－tan θ1＋3tan θ＋3＝1＋3tan θ，
1
2
1?2?
?π?
????
?π?由θ∈?0，?，得t∈[1,4]，
3??
2
4?3t－4t＋43?3
所以S＝3＋＝?t＋?＋ 3t?32?23t≥
3
×2× 2
t×＋＝2＋. 3t33
433
232－3
当且仅当t＝时，即tan θ＝时等号成立．
33233
此时，AN＝，Smin＝2＋.
33
233
答：当AN＝时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2＋.
33
5．设fk(n)为关于n的k(k∈N)次多项式．数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn.对于任意的正整数n，an＋Sn＝fk(n)恒成立．
(1)若k＝0，求证：数列{an}是等比数列；
(2)试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．
解：(1)证明：若k＝0，则fk(n)即f0(n)为常数，不妨设f0(n)＝c(c为常数)． 因为an＋Sn＝fk(n)恒成立，所以a1＋S1＝c， 即c＝2a1＝2.所以an＋Sn＝2，① 当n≥2时，an－1＋Sn－1＝2，② ①－②得2an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．
若an＝0，则an－1＝0，…，a1＝0，与已知矛盾， 所以an≠0(n∈N)．
1
故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列.
2(2)(ⅰ)若k＝0，由(1)知，不符题意，舍去. (ⅱ)若k＝1，设f1(n)＝bn＋c(b≠0，b，c为常数)， 所以an＋Sn＝bn＋c，③
当n≥2时，an－1＋Sn－1＝b(n－1)＋c，④ ③－④得2an－an－1＝b(n≥2，n∈N)．
要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列， 必须有an＝b－d(常数)，
而a1＝1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an＝1(n∈N)，
故当k＝1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an＝1(n∈N)，此时f1(n)＝n＋1. (ⅲ)若k＝2，设f2(n)＝an＋bn＋c(a≠0，a，b，c是常数)， 所以an＋Sn＝an＋bn＋c，⑤
当n≥2时，an－1＋Sn－1＝a(n－1)＋b(n－1)＋c，⑥
2
2
2
*
*
*
*
*
⑤－⑥得2an－an－1＝2an＋b－a(n≥2，n∈N)． 要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列， 必须有an＝2an＋b－a－d，且d＝2a， 考虑到a1＝1，
所以an＝1＋(n－1)·2a＝2an－2a＋1(n∈N)． 故当k＝2时，数列{an}能成等差数列， 其通项公式为an＝2an－2a＋1(n∈N)，
此时f2(n)＝an＋(a＋1)n＋1－2a(a为非零常数).
(ⅳ)当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，则an＋Sn的表达式中n的最高次数为2，故
2
*
*
*
k≥3时，数列{an}不能成等差数列．
综上得，当且仅当k＝1或2时，数列{an}能成等差数列．
6．已知λ∈R，函数f (x)＝e－ex－λ(xln x－x＋1)的导函数为g(x)． (1)求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程； (2)若函数g(x)存在极值，求λ的取值范围； (3)若x≥1时，f (x)≥0恒成立，求λ的最大值． 解：(1)因为f′(x)＝e－e－λln x，
所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝0，又f(1)＝0， 所以切线方程为y＝0.
(2)g(x)＝e－e－λln x(x>0)，g′(x)＝e－. 当λ≤0时，g′(x)＞0恒成立， 从而g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故此时g(x)无极值. 当λ＞0时，设h(x)＝e－
xxxxxxλxλ， x则h′(x)＝e＋2＞0恒成立， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增. ①当0＜λ＜e时，
λx?λ?λh(1)＝e－λ＞0，h??＝e－e＜0，
e
??
e
且h(x)是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x0∈?②当λ≥e时，
?λ，1?，使得h(x)＝0.
?0
?e?
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