第三讲 圆锥曲线的综合应用 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存
在性问题
25
1．(2018·云南师大附中质检)已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于，且过点
5
?25??1，?.
5??
(1)求椭圆C的标准方程；
→→(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若MA＝λ1AF，→
MB＝λ2BF，求证：λ1＋λ2为定值．
解析：(1)设椭圆C的方程为
→
x2y2
＋＝1(a＞b＞0)， a2b2
??则??25?
??1?5???a＋b＝1，
2
2
2
c25
＝，a5
x2
22
∴a＝5，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y＝1.
5
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0) ， 又易知F点的坐标为(2,0)． 显然直线l存在斜率， 设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y＝k(x－2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程中，消去y并整理得(1＋5k)x－20kx＋20k－5＝0，
20k20k－5
∴x1＋x2＝2，x1x2＝2.
1＋5k1＋5k2
2
2
2
2
22
x1x2→→→→
又∵MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，将各点坐标代入得λ1＝，λ2＝，
2－x12－x2
∴λ1＋λ2＝＋
2－x12－x2＝
x1x2
2x1＋x2－2x1x2
4－2x1＋x2＋x1x2
1
＝
＝－10， 22
20k20k－5
4－2·2＋21＋5k1＋5k5??20k2－20k－2
2???1＋5k1＋5k?
22
即λ1＋λ2为定值．
2．(2018·贵阳一模)过抛物线C：y＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，
2
B两点，且|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点，并求出该点的坐标． 解析：(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程
y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由题意知k≠0，且[－(2k＋4)]－4k·k＝16(k＋1)＞0， 2k＋4
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2，x1x2＝1，
2
2
2
2
2
2
k由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8， 2k＋42∴＝6，∴k＝1，即k＝±1， 2
2
k∴直线l的方程为y＝±(x－1)．
(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，直线BD的斜率kBD＝y2＋y1y2＋y1
＝x2－x1y2y221
4－4
＝
4
， y2－y1
∴直线BD的方程为y＋y1＝
2
4
(x－x1)， y2－y1
即(y2－y1)y＋y2y1－y1＝4x－4x1，
∵y1＝4x1，y2＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)＝16x1x2＝16， 即y1y2＝－4(y1，y2异号)，
∴直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0， 恒过点(－1,0)．
1
3．(2018·南宁模拟)已知抛物线C：y2＝ax(a＞0)上一点P(t，)到焦点F的距离为2t.
2(1)求抛物线C的方程；
(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
解析：(1)由抛物线的定义可知|PF|＝t＋＝2t，则a＝4t，
4
2
2
2
a 2
11
由点P(t，)在抛物线上，得at＝，
24
a12
∴a×＝，则a＝1，
44
由a＞0，得a＝1， ∴抛物线C的方程为y＝x. (2)∵点A在抛物线C上，且yA＝1， ∴xA＝1.
∴A(1,1)，设过点Q(3，－1)的直线的方程为x－3＝m(y＋1)， 即x＝my＋m＋3，
代入y＝x得y－my－m－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3， ∴k1k2＝＝
2
2
2
y1－1y2－1
· x1－1x2－1
2
y1y2－y1＋y2＋1
my1y2＋mm＋2y1＋y2＋m＋2
2
1＝－，
2∴k1k2为定值．
x2y2
4．(2018·福州四校联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，
ab短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为
3
bRS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
11bc1解析：(1)由内切圆的性质，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝. 223a2
2
x2y2b22b将x＝c代入2＋2＝1，得y＝±，所以＝3.
abaa又a＝b＋c，所以a＝2，b＝3， 故椭圆C的标准方程为＋＝1.
43
(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称．
当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t,0)满足条件，设l的方程为y＝k(x－1)，R(x1，
3
222
x2y2
y1)，S(x2，y2)．
??y＝kx－1，
联立方程，得?22
??3x＋4y－12＝0，
22
得(3＋4k)x－8kx＋4k－12＝0，
2222
??
由根与系数的关系得?4k－12
xx＝??3＋4k2
12
8kx1＋x2＝2，
3＋4k
①，其中Δ＞0恒成立，
由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTS＋kTR＝0(显然TS，TR的斜率存在)， 即
y1
x1－tx2－t＋
y2
＝0 ②.
因为R，S两点在直线y＝k(x－1)上， 所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得
kx1－1
x2－t＋kx2－1x1－tx2－tx1－t＝
k[2x1x2－t＋1
x1－tx1＋x2＋2t]
＝0，
x2－t即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 ③， 8k－24－t＋18k＋2t3＋4k将①代入③得2
3＋4k则t＝4，
综上所述，存在T(4,0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称．
2
2
2
6t－24＝2＝0 ④， 3＋4k 4
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