例1. 已知f(x)=e-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
x
解：f?(x)=e-a.
x
（1）若a≤0，f?(x)=e-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.
若a>0,e-a≥0,∴e≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f（x）在R内单调递增，∴f?(x)≥0在R上恒成立.
∴e-a≥0，即a≤e在R上恒成立.
xx
∴a≤（e）min，又∵e>0，∴a≤0.
x
（3）方法一 由题意知e-a≤0在（-∞，0］上恒成立.
xx
∴a≥e在（-∞，0］上恒成立.∵e在（-∞，0］上为增函数.
xx
∴x=0时，e最大为1.∴a≥1.同理可知e-a≥0在［0，+∞）上恒成立.
x
∴a≤e在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.
0
方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴f?(0)=0,即e-a=0,∴a=1.
变式训练1. 已知函数f(x)=x-ax-1.
（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
3
（3）证明：f(x)=x-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
2
（1）解 由已知f?(x)=3x-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，
22
∴f?(x)=3x-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x对x∈R恒成立.
22
∵3x≥0,∴只需a≤0,又a=0时，f?(x)=3x≥0,
故f(x)=x-1在R上是增函数，则a≤0.
22
（2）解 由f?(x)=3x-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x,x∈(-1,1)恒成立.
22
∵-1 在x∈(-1,1)上，f?(x)<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减. （3）证明 ∵f(-1)=a-2 例2. 已知函数f(x)=x+ax+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时， 33 2 3 3 x x x x x 2y=f(x）有极值. （1）求a,b,c的值； （2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. 322 解 （1）由f(x)=x+ax+bx+c,得f?(x)=3x+2ax+b, 当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ① 当x=时，y=f(x)有极值，则 32?2?f????3?=0,可得4a+3b+4=0 ② 由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5. 322 （2）由（1）可得f(x)=x+2x-4x+5,∴f?(x)=3x+4x-4, 令 f?(x)=0,得x=-2,x=. 32当x变化时，y,y′的取值及变化如下表： x -(-3,--?2?3 2) ??2,2?2 3??2,1???? 3 ?3?1 y′ + 0 - 0 + 单调y 递增 8 1单调单调递减 954 ↗ 3 ↘ 27递增 ↗ ∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为 95. 27变式训练2. 函数y=x4 -2x2 +5在区间［-2,2］上的最大值与最小值. 解 先求导数,得y′=4x3-4x,令y′=0,即4x3 -4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1. 导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表: x -(-2,--(-1(0,(1, 2 1) 1 ,0) 0 1) 1 2) y ′ - 0 + 0 - 0 + y 1 3 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4. 例3. 已知函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 解 ∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴f?(x)=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2 +2x). 令 f?(x)>0,即e-ax(-ax2 +2x)>0,得0 2. a∴f(x)在（-∞,0),??2,????上是减函数，在??0,2???a?上是增函数. ?a?①当0< 2<1,即a>2时,f(x）在（1，2）上是减函数, a∴f（x）（1）=e-a max=f. ②当1≤2≤2,即1≤a≤2时， af(x)在??1,2???2,2??上是减函数， ?a??上是增函数，在?a?∴f(x)max=f??2??=4a-2e-2 . ?a?③当 2a>2时，即0 ∴f（x）=4e-2a max=f（2）. 综上所述，当0 , 当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a-2e-2 , 当a>2时，f(x)的最大值为e-a . 变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2 (x∈R),其中a∈R. （1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值. 2 1 3 解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)=-x+2x-x, 2 f(2)=-2,f?(x)=-3x+4x-1, f?(2)?-12+8-1=-5, ∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 232 5x+y-8=0. （2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2 x, f?(x)=-3x2+4ax-a2 =-(3x-a)(x-a), 令 f?(x)=0,解得x= a或x=a. 3由于a≠0，以下分两种情况讨论. ①若a>0，当x变化时，f?(x)的正负如下表： x (-∞, a3a) 3 ( a3,a) a f?(x) - 0 + 0 f(x) ↘ ?4327a ↗ 0 因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f（a）， 33且f（ a）=- 43;327a 函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0. ②若a<0，当x变化时，f?(x)的正负如下表： x (-∞,a) a (a,a3) a3f?(x- 0 + 0 f-(x) ↘ 0 ↗ 427a3 因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；函数f(x)在x=a处取得极大值f（ a）, 33且f（ a）=- 43327a. 已知函数f(x)?2x?b(x?1)2，求导函数f?(x)，并确 定f(x)的单调区间．已知函数 f(x)?ln(x?2)?x22a,求函数f(x) 的单调区间．(a,+∞) - ↘ ( a3,+∞ ) - ↘ 已知函数f(x)＝ 14x＋x － x＋cx有三个极值点．432?1?证明：－27?c?5； ?2?若存在实数c，使函数f(x)在区间[a，a＋2]上单调递减，求a的取值范围．【解析】(1)证明：依题意，得f '(x)＝x3＋3x2－9x＋c＝0有三个互异的实根． 设g(x)＝x3＋3x2－9x＋c，则g'(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)． 当x<－3时，g'(x)>0，则g(x)在(－∞，－3)上为增函数； 当－3 当g(－3)≤0或g(1)≥0时，g(x)＝0最多只有两个不同实根． 因为g(x)＝0有三个不同实根， 所以g(－3)>0且g(1)<0，即－27＋27＋27＋c>0，且1＋3－9＋c<0， 解得c>－27且c<5，故－27 ?2?当－27?c?5时，f(x)有三个极值点，不妨设为x1、x2、x3且x1?－3?x2?1?x3，则f?(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)，所以f(x)的单调减区间是(－?，x1]，[x2，x3]．若f(x)在区间[a，a＋2]上单调递减，则[a，a＋2]?(－?，x1]或[a，a＋2]?[x2，x3]．若[a，a＋2]?(－?，x1]，则a＋2?x1.由?1?知，x1?－3，于是a?－5.若[a，a＋2]?[x2，x3]，则a?x2且a＋2?x3.由?1?知，－3?x2?1 又f '(x)＝x3＋3x2－9x＋c， 当c＝－27时，f '(x)＝(x－3)(x＋3)2； 当c＝5时，f '(x)＝(x＋5)(x－1)2. 因此，当－27 故a<－5或－3 反之，当a<－5或－3 总可找到c∈(－27,5)使函数f(x)在区间[a，a＋2]上单调递减． 综上所述，a的取值范围是(－∞，－5)∪(－3,1)． 【变式练习2】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－1(a>0)，若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围． 【例3】 已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点． (1)求a的值；
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