天津南开中学2018届高三第四次月考
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
本卷共8小题，每小题5分，共40分。
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
7?i＝（ ） 3?iA. 2?i B. 2?i C. ?2?i D. ?2?i
2. 已知条件p:|x?1|?2，条件q:|x|?a，且?p是?q的必要不充分
1. i是虚数单位，复数z?条件，则实数a的取值范围是（ ）
A. 0?a?1 B. 1?a?3 C. a?1 D. a?3 3. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. 3 D. 9
4. 数列{an}的前n项和为Sn?n2?n?1,bn?(?1)nan(n?N*)，则数列
{bn}的前50项的和为（ ）
A. 49 B. 50 C. 99 D. 100
?x1?5. 二项式??2?3??的展开式中的常数项是（ ） x??8A. －28 B. －7 C. 7 D. 28 6. 为了得到函数y?3sinxcosx?cos2x的图象，只需将函数
y?sin2x的图象（ ）
12A. 向左平移位
?个长度单位 12?6 B. 向右平移
?6?个长度单12C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 7. 平面向量a与b的夹角为
2?则a?2b＝（ ） ,a?(3,0)，|b|?2，
3A. 13 B. 37 C. 7 D. 3
8. 设f(x)是定义在R上的周期函数，周期为T?4，对x?R都有
?1?f(?x)?f(x)，且当x?[?2,0]时，f(x)????1，若在区间(?2,6]内关于
?2?x的方程f(x)?loga(x?2)＝0(a?1)恰有3个不同的实根，则a的取值
x范围是（ ）
A. （1，2） B. (2,??) C. ?1,4? D. ?34,2?
第Ⅱ卷
本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 某校高中生共有2000人，其中高一年级560人，高二年级640人，高三年级800人，现采取分层抽样抽取容量为100的样本，那么高二年级应抽取的人数为 人。
10. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为 。
?y?211. 已知变量x，y满足约束条件??x?y?4，则z?3x?y的最大值
?x?y?1?为 。
x2y212. 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点为F1,F2，P为双曲
ab|PF1|2线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的
|PF2|取值范围是 。
13. 如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝27，AB＝BC＝3，则AC的长为 。
14. 若不等式|ax?lnx|?1对任意x?(0,1]都成立，则实数a取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
31?15. （本小题13分）已知向量a?(sinx,?1),b???3cosx,??，函数
f(x)?a?b·a?2
???2?（1）求函数f(x)的最小正周期T及单调减区间
（2）已知a,b,c分别是△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a?23,c?4且f(A)?1，求A，b和△ABC的面积S
16. （本小题13分）张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个公交站，这四个公交站将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车
时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟，假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是
（1）求张师傅此行时间不少于16分钟的概率
（2）记张师傅此行所需时间为Y分钟，求Y的分布列和均值 17. （本小题13分）如图，已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝2
13
（1）求证：平面EAB⊥平面ABCD （2）求二面角A－EC－D的余弦值
18. （本小题13分）已知数列{an}满足a1?1,a2?3,an?1?4an?3an?1?n?N*,n?2?，
（1）证明：数列{an?1?an}是等比数列，并求出{an}的通项公式 （2）设数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意n?N*，有
bb1b?2???n?2n?1成立，求Sn a12a2nan19. （本小题14分）设点P是曲线C：x2?2py(p?0)上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为 （1）求曲线C的方程
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k?0)的直线交C与另一点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。
20. （本小题14分）已知函数f(x)?x?ln(x?a)的最小值为0，其中a?0。
（1）求a的值
（2）若对任意的x?[0,??)，有f(x)?kx2成立，求实数k的最小值
（3）证明?i?1n542?ln(2n?1)?2(n?N*) 2i?1
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