2020届高三
培优点十六 利用空间向量求夹角
一、求直线与直线的夹角
例1：在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2AA1，则直线AC1与B1C所成角的余弦值为 ． 【答案】
5 5【解析】在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2AA1，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB?BC?2AA1?2，则A(2,0,0)，C1(0,2,1)，B1(2,2,1)，C(0,2,0)，
uuuuruuur． AC1?(?2,2,1)，BC1?(?2,0,?1)uuuuruuur|AC1?B1C|35ruuur??设直线AC1与B1C所成角为?，则cos??uuuu，
5|AC1|?|B1C|9?5直线AC1与B1C所成角的余弦值为
5． 5二、求直线与平面的夹角
例2：正三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为 ．
【答案】
10 4【解析】设AB?BB1?1，以B为原点，建立空间直角坐标系坐标系如图，
则C1(0,1,1)，A?r??31?uuuu31?，
?2,2,0??AC1????2,2,1??， ????又平面BB1C1C的一个法向量n?(1,0,0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为?，
uuuuruuuur|AC1?n|6r?则sin??|cos?n,AC1?|?uuuu，
4|AC1|?|n|故cos??1?sin2??
10． 4三、求平面与平面的夹角
例3：正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角A?BD1?B1的大小是 ． 【答案】
2π 3【解析】设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz，
uuuuruuuruuurA(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，BA?(0,?1,0)，BD1?(?1,?1,1)，BB1?(0,0,1)，
uuur??BA?n??y?0设平面ABD1的法向量n?(x,y,z)，则?uuuu， r??BD1?n??x?y?z?0取x?1，得n?(1,0,1)，
uuur??BB1?m?c?0BBDm?(a,b,c)设平面11的法向量，则?uuuu， r??BD1?m??a?b?c?0取a?1，得m?(1,?1,0)，
设二面角A?BD1?B1的平面角为?，cos???|cos?m,n?|??∴二面角A?BD1?B1的大小为
1， 22π． 3对点增分集训
一、选择题
1．已知四面体ABCD中，平面ABD?平面BCD，BD?DC，BD?DC，△ABD为边长2的等边三角形，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ） A．
2 4B．
2 3C．
1 2D．
3 4【答案】A
【解析】根据题意画出图形如下图所示：
∵平面ABD?平面BCD，平面ABDI平面BCD?BD，BD?DC， ∴DC?平面ABD．
以过点D且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系D?xyz，
则D(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A(1,0,3)，∴DB?(2,0,0)，AC?(?1,2,?3)，
uuuruuur
uuuruuuruuuruuurDB?AC?22ruuur???∴cos?DB,AC??uuu，
4|DB|?|AC|2?22∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为
2． 42．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱上（除去棱AD）到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个，记这3个 点分别为E，F，G，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为（ ） A．26 13B．226 13C．278 39D．478 39【答案】D
【解析】正方体ABCD?A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，
B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB?2，则E(1,2,0)，F(,2,2)，G(0,0,2)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，
uuuruuuruuuur13∴EF?(,0,2)，GF?(,2,0)，AC1?(?2,2,2)．
2232?1uuurx?2z?0???2?n?EF?0设平面EFG的法向量n?(x,y,z)，则?uuu，即?， r3??x?2y?0?n?GF?0??2取x?4，得n?(4,?3,?1)， 设直线AC1与平面EFG所成角为?，
相关推荐：
loading