任意角和弧度制
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角
正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角
定义：角的顶在原点始边与x轴重合||，终边在第几象限此角就是第几象限角||。 与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：
注意：若角的终边在坐标轴上||，就说这个角不属于任何象限||，它叫象限界角||。
（2）①与?角终边相同的角的集合：{?|??360k??,k?Z}或{?|??2k???,k?Z}
0（3）区间角的表示： ①象限角： 象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 ②写出图中所表示的区间角： 由?的终边所在的象限||， 来判断
象限角的集合表示 {x|k?360o
?3所在的象限
(二)弧度制
1 弧度角的规定.
它的单位是rad 读作弧度
l=2r B C 如图：?AOB=1rad r ?AOC=2rad 2rad r 1rad A
o 周角=2?rad o A 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角||。与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制||。
（1）正角的弧度数是正数||，负角的弧度数是负数||，零角的弧度数是0 （2）角?的弧度数的绝对值 ??l（l为弧长||，r为半径） r （3）用角度制和弧度制来度量零角||，单位不同||，但数量相同（都是0） 弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o
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角度制=弧度制*180o/π
2π=360o
弧度数α与弧长L与半径R的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径） （4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式：S?12?R2
n?R2n?r弧长公式：l?||，扇形面积公式：S扇?（初中）
360180
2 弧度制与角度制的换算：
因为周角的弧度数是2?||，角度是360°||，所以有 360??2?rad1??180???rad ?180rad?0.01745rad把上面的关系反过来写 2?rad?360??rad?180? 180?1rad?()rad?57.30??57?18? ?0?~360?之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.
度 弧度 0° 0 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° ? 6? 4? 3? 22? 33? 45? 6? 3? 22? 类型一：角的概念问题
1. 终边相同的角的表示
例1 若角?是第三象限的角||，则角??的终边在第______象限. 答案：二.
解析：因为?是第三象限的角||，故?k?360?270
ooook?360o?270o
练习：与610角终边相同的角可表示为_____________. 【答案：k?360?250(k?Z）】 2. 象限角的表示
例2 已知角?是第二象限角||，问（1）角
ooo?2是第几象限的角？（2）角2?终边的位置.
思路：先根据已知条件得出角的范围||，再通过讨论k值来确定象限角.
解析：（1）因为?是第二象限的角||，故k?360?90
ooook?180??45???2?k?180??45?k?180o?45o
22第一象限；当k为奇数时||，?在第三象限||，故为第一或第三象限角.
22（2）由k?360?90
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2k?360o?180o<2?<2k?360o? 360o(k?Z)||，故角2?终边在下半平面.
点评：已知?所在象限||，求
结论：
?n (n?N*)所在象限的问题||，一般都要分几种情况进行讨论.
? ? 2第一象限 第一、三象限 第二象限 第一、三象限 第三象限 第二、四象限 第四象限 第二、四象限 类型二：弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的互化
例3 把下列各角的度数化为弧度数： 解 因为1???180rad||，所以
练习：把下列各角的弧度数化为度数： 解 因为
? rad＝180?||，所以
例4 （1）设??750o||，用弧度制表示?||，并指出它所在的象限；
（2）设???||，用角度制表示?||，并在?720o～0内找出与它有相同终边的所有角. 导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？
35o1803180o3 （2）??()???108o||，与它终边相同的角可表示为k?360o?180o(k?Z）||，由
5?533?720o≤k?360o?180o<0o||，得?2≤k
1010围内与?有相同终边的所有角是?612和?252.
oo解析：（1）????750?25???2?2??||，故?在第一象限. 66点评：角度与弧度进行互化||，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限||，关键是在[0,2?]内找到与该角终边相同的角.
练习：（1）设???570o||，用弧度制表示?||，并指出它所在的象限；
7?||，用角度制表示?||，并在?720o～0o内找出与它有相同终边的所有角. 3?195?解析：（1）??||，故?在第二象限. ?(?570)?????2?2??180667180o7 （2）???()?(??)??420o||，故在?720o～0o范围内与?有相同终边的角
3?3 （2）设??是?60.
2.求弧长与扇形面积
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例5 已知一扇形中心角为?||，所在圆半径为R.
（1）若???3||，R?10cm||，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
（2）若扇形的周长为一定值C(C>0)||，当?为何值时||，该扇形面积最大||，并求此最大值.
导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长C表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？
解析：（1）设弧长为l||，弓形面积为S弓||，则l?故S弓?S扇?S??10?(cm)||， 3??3110?1)(cm2). ??10??102?sin?50(?332232（2）解法一：由扇形周长C?2R?l||，得l?C?2R||，
1C2C2112故S扇=Rl?R(C?2R)??R?RC??(R?)?.
241622C2CC当R?时||，S扇有最大值且最大值为.此时l?C?2R?||，
1642故??lC4???2.故当??2时||，该扇形有最大面积. R2CC解法二：由扇形周长C?2R?l?2R??R||，得R?||，
2?a11C2C21C21C22故S扇=?R???(||， )?????≤24222??24?4???24???16?2C2当且仅当??4||，即a?2时||，扇形面积最大为.
16点评：在应用扇形弧长和面积公式时||，如果圆心角用角度表示||，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆.
练习：设扇形的周长为8cm||，面积为4cm2||，则扇形的圆心角的弧度数是________. 解：S?1l4(8?2r)r?4||，即r2?4r?4?0||，解得r?2||，故l?4||，从而????2. 2r21、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．-30° C．630° D．-630° 答案：B
2、－1120°角所在象限是 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D
3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°||， k∈Z）的形式是 （ ）
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