大学高等数学期中考试试卷及答案 (1)

解：

（x0,y0)，则过原点的切线方程为设切点为

y?1x2x0?2，

（x0,y0)在切线上，带入切线方程，解得切点为x0?4,y0?2.-----3 由于点

过原点和点(4,2)的切线方程为 面积

y?x22-----------------------------3

s??2022(y?2?22y)dy=3-------------------3

2 或

s??20122xdx??(24122x?x?2)dx?223

222．设平面图形D由x?y?2x与y?x所确定，试求D绕直线x?2旋转一周所生成的旋转体的体积.

解： 法一：V?V1?V2

10???2?(1?1?y)dy???(2?y)2dy?2??10?2?21?1?y12?(y?1)2dy -------6

?0??11??1?2???(y?1)3??2?(?)0?43 --------3 ?43法二：V=

102??(2?x)(2x?x2?x)dx010

------------------ 5

?2??(2?x)2x?x2dx?2??(2x?x2)dx

14???(2?2x)2x?x2?22x?x2dx??03??3?2?41221???(2x?x)?2???1???04?3?321412????2????2??32323 ------------- 4

3. 设a?1,f(t)?a?at在(??,??)内的驻点为 t(a). 问a为何值时t(a)最小? 并求

最小值.

t解:

由f?(t)?atlna?a?0得t(a)?1?lnlna. lna --------------- 3

又由t?(a)?

lnlna?1?0得唯一驻点a?ee 2a(lna)------------3

当a?ee时,t?(a)?0;当a?ee时,t?(a)?0,于是a?ee为t(a)的极小值点.-----2

故

a?ee为t(a)的最小值点,最小值为t(ee)?1?lne1?1?.ee--------------1

五．证明题（7分）

1f(0)=f(1)?0,f()?1，2设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且

试证明至少存在一点??(0,1), 使得f?(?)=1.

证明：设F(x)?f(x)?x，F(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0,

有F(0)?f(0)?0?0,F(1)?f(1)?1??1,--------------- 2

1111111f()=1F()=f()-=1-=，[，1]2222在2上F(x)用零点定理， 又由2，知211F(1)F()=-?022根据，--------------- 2 11(，1)F(?)=0，??(,1)?(0,1)2可知在2内至少存在一点?，使得, F(0)=F(?)=0由ROLLE中值定理得 至少存在一点??(0,?)?(0,1)使得

F?(?)=0即f?(?)?1=0，证毕. --------------3