【步步高】（浙江专用）2017年高考数学 专题九 复数与导数 第72
练 导数的概念及运算练习
训练目标 (1)导数的概念；(2)导数的运算. 训练题型 (1)导数的四则运算；(2)曲线的切线问题；(3)复合函数求导. (1)求导数技巧：乘积可展开化为多项式，根式化为分数指数幂，绝对值化为分解题策略 段函数；(2)求切线方程首先要确定切点坐标；(3)复合函数求导的关键是确定复合的结构，然后由外向内，逐层求导. 一、选择题
1．设函数f(x)＝ax＋2，若f′(－1)＝3，则a等于( ) A．－1 C．1
1
B. 21D. 3
3
2．(2015·河北衡水中学高二调考)设f(x)为可导函数，且lim h→∞等于( ) A．5 C．－5
B．10 D．－10
f(3)－f(3＋h)
＝5，则f′(3)
2h3．曲线y＝ln(x＋2)在点P(－1,0)处的切线方程是( ) A．y＝x＋1 C．y＝2x＋1
B．y＝－x＋1 D．y＝－2x＋1
π2
4．在曲线y＝x上切线倾斜角为的点是( )
4A．(0,0) 11
C．(，)
416
B．(2,4) 11D．(，) 24
1＋cos xπ
5．设曲线y＝在点(，1)处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( )
sin x2A．－1 C．－2
1
B. 2D．2
12
6．已知f(x)＝x－cos x，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是( )
2A．仅有最小值的奇函数
1
B．既有最大值，又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值，又有最小值的奇函数
1
7．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
42A．3 C．1
8．设f(x)为可导函数，且满足lim x→0的切线的斜率是( ) 1
A．1 B．－1 C. D．－2
2二、填空题
9．设函数f(x)＝ax＋
1
(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.x＋bB．2 1D. 2
x2
f(1)－f(1－x)
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处
x则函数f(x)的解析式为____________．
10．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0<φ<π)．若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________. 11．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(nπππ*
∈N，n≥2)，则f1()＋f2()＋…＋f2 017()＝________.
222
138
12．已知曲线y＝x上一点P(2，)，则过点P的切线方程为____________________________．
33
2
答案解析
1．C [由f(x)＝ax3
＋2，得f′(x)＝3ax2
. ∵f′(－1)＝3，∴3a＝3，解得a＝1.] 2．D [∵limf(3)－f(3＋h)
h→∞
2h＝5，
∴f′(3)＝－2·limf(3)－f(3＋h)
h→∞ 2h＝－10.故选D.]
3．A [y′＝1x＋2(x>－2)，曲线在点P(－1,0)处的斜率为k＝1
－1＋2
＝1，所以切线方程为y－0＝x＋1，即y＝x＋1. 故选A.]
2
2
4．D [∵y′＝(x＋Δx)－xΔlimx→0 Δx ＝Δlimx→0
(2x＋Δx)＝2x， ∴令2x＝tan π4＝1，得x＝12，
∴y＝(121
2)＝4，
所求的坐标为(12，1
4
)．]
－sin2
5．A [∵y′＝x－(1＋cos x)cos x－1－cos xsin2x＝sin2x， ∴y′|x＝π2＝－1.由条件知1
a＝－1，∴a＝－1.故选A.]
6．D [f′(x)＝x＋sin x，令g(x)＝x＋sin x， 则g′(x)＝1＋cos x. 当x∈[－1,1]时，g′(x)>0，
所以f′(x)＝g(x)在[－1,1]上单调递增， 所以f′(－1)≤f′(x)≤f′(1)， 即－1－sin 1≤f′(x)≤1＋sin 1.
又f′(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f′(x)， 所以f′(x)是奇函数．故选D.]
7．B [设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0， ∵y′＝12x－3x，∴k＝12x31
0－x＝－，
02
3
∴x0＝2.] 8．B [∵lim f(1)－f(1－x)
x→0x＝－1，
∴limf(1－x)－f(1)
x→0
－x＝－1，∴f′(1)＝－1.]
9．f(x)＝x＋1x－1
解析 ∵f′(x)＝a－1
(x＋b)
2，
?由题意知：??
?
f′(2)＝0，?a－1
(2＋b)2
＝0，??f(2)＝3，
∴???2a＋1
2＋b＝3，
∴4a2
－13a＋9＝0，即a＝1或a＝94(舍)．
∴b＝－1，∴f(x)＝x＋1x－1
. 10.π6
解析 f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，
f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)
＝2sin(3x＋φ＋5
6π)．
若f(x)＋f′(x)为奇函数， 则f(0)＋f′(0)＝0， 即0＝2sin(φ＋5
6π)，
所以φ＋5
6π＝kπ，k∈Z.
又因为φ∈(0，π)，所以φ＝π
6. 11．1
解析 f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x， f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)， 又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
4
∴fπ2＋fππ1()2(2)＋…＋f2 017(2
)
＝504[fπππππ1(2)＋f2(2)＋f3(2)＋f4(2)]＋f1(2) ＝fπ
1(2
)＝1.
12．12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0 解析 设切点为(x13
0，3x0)．
由y′＝x2
，得k＝x2
|x＝x2
0＝x0. 即切线斜率为x2
0.
∴切线方程为y－132
3x0＝x0(x－x0)．
又∵切线过点P(2，8
3)，
∴83－13x3＝x2
00(2－x0)， 即x3
2
0－3x0＋4＝0， ∴x0＝2或x0＝－1.
∴切线过点P(2，8
3)，切线斜率为4或1.
∴切线方程为y－83＝4(x－2)或y－8
3＝x－2，
即12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.
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