模块综合试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分） 1.已知a＞b,则下列不等式成立的是（ ） A.a2－b2＞0 C.ac2＞bc2 考点 不等式的性质 题点 不等式的性质 【参考答案】D
【试题解析】A中,当a＝0,b＝－1时,a2－b2＝0－1＝－1<0,所以A错误.B中,当c＝0时,ac＝bc＝0,所以B错.C中,当c＝0时,ac2＝bc2＝0,C错.D中,因为y＝2x为单调递增函数,所以当a＞b时,2a＞2b成立.
π
2.在△ABC中,A 2A.tan A 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 【参考答案】C 【试题解析】由大边对大角及A 3.已知a＞b＞0,c＞d＞0,则（ ） cdA.＞ ab C.a－c＞b－d 考点 不等式的性质 题点 不等式的性质 【参考答案】B 4.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4,则cos C的值为（ ） 2211A. B.－ C. D.－ 3344考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 B.ac＞bd ba D.＞ cdB.tan A＞tan C D.cos A 【参考答案】D 【试题解析】∵sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4, ∴a∶b∶c＝3∶2∶4,设a＝3k,则b＝2k,c＝4k,k＞0, ?3k?2＋?2k?2－?4k?21 ∴cos C＝＝－. 42·?3k?·?2k? a3＋a9 5.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P＝,Q＝a5·a7,则P与Q的大小关系 2是（ ） A.P＞Q C.P＝Q 考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 【参考答案】A a3＋a9 【试题解析】由题设知an＞0,q＞0且q≠1,所以a3≠a9,a3＞0,a9＞0,P＝＞a3·a9,因为 2a3·a9＝a5·a7,所以P＞Q. 2x＋y－2≥0，?? 6.设变量x,y满足约束条件?x－2y＋4≥0， ??x－1≤0，A.－5 B.－4 C.－2 D.3 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 【参考答案】B 【试题解析】由约束条件可得可行域（如图阴影部分含边界所示）, B.P 则目标函数z＝3x－2y的最小值为（ ） 31 对于目标函数z＝3x－2y,可化为y＝x－z, 22要使z取最小值,可知过A点时取得. ???2x＋y－2＝0，?x＝0，由?得?即A（0,2）, ?x－2y＋4＝0，???y＝2， ∴zmin＝3×0－2×2＝－4. 27.等差数列{an}的公差d<0,且a2（ ） 1＝a11,则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n是 A.5 B.6 C.5或6 D.6或7 考点 等差数列前n项和最值 题点 求等差数列前n项和的最值 【参考答案】C 【试题解析】由题设可知a1＝－a11,所以a1＋a11＝0,所以a6＝0.因为d<0,故a5＞0,a7<0,所以n＝5或6. 24?8.如图,目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB（含边界）,若C??3，5?是该目标函数z＝ax－y的最优解,则a的取值范围是（ ） 105－，－? A.?12??3312?C.??10，5? 考点 线性目标最优解 题点 线性规划的理解 【参考答案】B 123【试题解析】利用目标函数的斜率a与最优点为C,依线性规划知识知－ 【试题解析】由a＝2,且（2＋b）（sin A－sin B）＝（c－b）sin C,故（a＋b）（sin A－sin B）＝（c－b）sin C,又根据正弦定理,得（a＋b）（a－b）＝（c－b）c,化简得b2＋c2－a2＝bc,故b2＋c2－a211 cos A＝＝,所以A＝60°,又b2＋c2－bc＝4≥bc,故S△ABC＝bcsin A≤3（当且仅当b 2bc22＝c时,取等号）. 10.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是（ ） A.1 考点 判断三角形形状 B.5 －，－? B.?10??5123－，? D.??510?题点 已知三角形形状求边的取值范围 【参考答案】D 222??2＋4>x， 【试题解析】由于△ABC为锐角三角形,故有?222 ?2＋x>4，? 解得23 A.60 B.－82 C.182 D.－96 考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题 【参考答案】B 【试题解析】a2＋a6＋a10＋…＋a42 ＝a1＋d＋a4＋2d＋a7＋3d＋…＋a31＋11d ＝（a1＋a4＋…＋a31）＋（d＋2d＋3d＋…＋11d） ＝50＋11×12 2 d＝50＋66d＝－82. 12.设正实数x,y,z满足x2－3xy＋4y2－z＝0,则当xy212 z取得最大值时,x＋y－z的最大值是（A.0 B.1 C.9 4 D.3 【参考答案】B 【试题解析】xyz＝xy11 x2－3xy＋4y2＝x≤＝1, y＋4yx －34－3 当且仅当x＝2y时等号成立,此时z＝2y2,2x＋1y－2z＝－1y2＋2 y＝－?1?y－1??2＋1≤1, 当且仅当y＝1时等号成立,故所求的最大值为1. 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13.已知不等式x2＋bx－b－3 4＞0的解集为R,则b的取值范围是________. 考点 一元二次不等式的应用 题点 已知解集求参数的取值范围 【参考答案】（－3,－1） 【试题解析】由题意知b2－4??－b－3 4??<0,即b2＋4b＋3<0,所以－3 ）题点 利用等差数列项数的规律解题 【参考答案】－30 【试题解析】因为a4＋a12＝a1＋a15＝2a8,所以a8＝－2.所以S15＝2×15＝－30. 15.在△ABC中,已知AB＝2,AC＝3,A＝60°.则sin 2C＝________. 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 43【参考答案】 7 1 【试题解析】由余弦定理知,BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7,所以BC 2＝7. ABBCAB2sin 60°21 由正弦定理知,＝,所以sin C＝·sin A＝＝. sin Csin ABC77因为AB 327 1－＝. 77 a1＋a15×15＝a8×15＝－2 a4＋4b4＋1 16.若a,b∈R,ab＞0,则的最小值为________. ab考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 【参考答案】4 a4＋4b4＋14a2b2＋11 【试题解析】≥＝4ab＋≥2ababab 14ab·＝4,前一个等号成立的条件是a2 ab 122 ＝2b2,后一个等号成立的条件是ab＝,两个等号可以同时成立,当且仅当a2＝,b2＝时取等 224号. 三、解答题（本大题共6小题,共70分） 17.（10分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. π A＋?＝2cos A,求A的值； （1）若sin??6?1 （2）若cos A＝,b＝3c,求sin C的值. 3考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合 ππ 解 （1）由题意知sin Acos ＋cos Asin ＝2cos A,从而sin A＝3cos A,且cos A≠0,所以tan 66A＝3, π 因为0 1 （2）由cos A＝,b＝3c,及a2＝b2＋c2－2bccos A, 3π 得b2＝a2＋c2,所以△ABC是直角三角形,且B＝, 21 所以sin C＝cos A＝. 3 18.（12分）某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张240元,使用规定：不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次.某班有48名学生,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次还要包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的车费均为40元.若使每个同学游8次,则购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？ 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用 48×864? ＋x（x∈N*）解 设购买x张游泳卡,则游泳活动总支出为y＝×40＋240x,即y＝240?. ?x?x64? 所以y＝240??x＋x?≥240×2 64 ·x＝3 840, x 643 840 当且仅当＝x,即x＝8时,最合算,每人最少交钱＝80（元）. x48即购买8张游泳卡最合算,每人最少交80元. 19.（12分） 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn（n∈N*）,a1＝－1,b1＝1,a2＋b2＝2. （1）若a3＋b3＝5,求{bn}的通项公式； （2）若T3＝21,求S3. 考点 等差等比数列综合应用 题点 等差等比基本量问题综合 解 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q, 则an＝－1＋（n－1）d,bn＝qn1.由a2＋b2＝2得 － d＋q＝3.① （1）由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.② ???d＝3，?d＝1， 联立①和②解得?（舍去）,? ?q＝0???q＝2. 因此{bn}的通项公式为bn＝2n1（n∈N*）. － （2）由b1＝1,T3＝21,得q2＋q－20＝0, 解得q＝－5,q＝4, 当q＝－5时,由①得d＝8,则S3＝21, 当q＝4时,由①得d＝－1,则S3＝－6. 20.（12分） 已知△ABC的外接圆半径为1,且角A,B,C成等差数列,若角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,求a2＋c2的取值范围. 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合 解 由A,B,C成等差数列,得2B＝A＋C,又A＋B＋C＝180°,所以B＝60°,A＋C＝120°.设A＝60°＋α,得C＝60°－α.由0° ＝4－2[cos（120°＋2α）＋cos（120°－2α）]＝4＋2cos 2α. 因为－60°<α<60°,所以－120°<2α<120°. 1 所以－ 2 21.（12分） 若关于x的不等式（2x－1）2 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 解 原不等式可化为（4－a）x2－4x＋1<0（a＞0）, 由于该不等式的解集中的整数恰有3个,则有4－a＞0,即a<4,故0 解不等式有 4－a4－a?2＋a??2－a??2＋a??2－a?111111 亦即<<<且 42＋a22－a2＋a2－a 12549要使该不等式的解集中的整数恰有3个,那么3<<4,解得 22.（12分） 电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 甲 连续剧播放 广告播放时 收视人次（万） 60 1－cos 2A1－cos 2C?＋22?? 时长（分钟） 长（分钟） 70 5 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. （1）用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播放甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？ 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 ??5x＋5y≥30，解 （1）由已知x,y满足的数学关系式为?x≤2y， x∈N，??y∈N， 70x＋60y≤600， ??x＋y≥6， 即?x－2y≤0， x∈N，??y∈N. 7x＋6y≤60， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分内的整点（包括边界）： （2）设总收视人次为z万,则目标函数为z＝60x＋25y. 12z12 考虑z＝60x＋25y,将它变形为y＝－x＋,这是斜率为－,随z变化的一族平行直线. 5255zz 为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大. 2525 z又因为x,y满足约束条件,所以由图可知,当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时,截距最25大,即z最大. ?7x＋6y＝60，? 解方程组?得点M的坐标为（6,3）, ??x－2y＝0， 所以,电视台每周播放甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
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