10，所以
|2m＋3|
17
＝10，求得m＝.
2
4＋36
7.(2018·新余调研)已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( ) A.2x＋3y＋5＝0 C.3x＋2y＋5＝0 【答案】 B
x0y0
－＋1＝0，?22?x0＝－1，
【解析】 设A(x0，y0)，依题意可得解得?即A(－1，1).设点B(2，－1)到直线l2
y0
?y0＝1，?＝－1，
x0
B.3x－2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
???
13
的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，∴直线l2的方程为y－1＝
kAB23
(x＋1)，即3x－2y＋5＝0 . 2
8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A.2 【答案】 B
【解析】 点(0，0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为＝2. 二、填空题
9.如果直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，则a＝________. 【答案】 3
【解析】 ∵直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，即直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－a23a1)y－(a－7)＝0平行，∴＝≠，解得a＝3.
3a－1－（a－7）
10.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________. 【答案】 6x－y－6＝0
【解析】 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所
（－1－1）2＋（1－1）2
B.2
C.3
D.4
13
?a－（－3）＝－1，
y－0
以?解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝
6－0－3＋ab＋4
?2－2＋3＝0，
，即6x－y－6＝0. 2－1
11.(一题多解)(2019·南昌模拟)已知点A(1，0)，B(3，0)，若直线y＝kx＋1上存在一点P，满足PA⊥PB，则k的取值范围是________. 4
－，0? 【答案】 ??3?
kx0＋1kx0＋1
2＋(2k－【解析】 法一 设P(x0，kx0＋1)，依题意可得kPA·kPB＝－1，即×＝－1，即(k2＋1)x0
x0－1x0－34
4)x0＋4＝0，则Δ＝(2k－4)2－16(k2＋1)≥0，化简得3k2＋4k≤0，解得－≤k≤0，故k的取值范围是
3x－1
b－4
?－4，0?. ?3?
法二 若直线y＝kx＋1上存在点P，满足PA⊥PB，则直线y＝kx＋1与以AB为直径的圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，故
|2k＋1|
44
－，0?. ≤1，即3k2＋4k≤0，故－≤k≤0，k的取值范围为??3?3
1＋k2
三、解答题
12.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标； (2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于42. 【答案】见解析
【解析】(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
???2x－y－6＝0，?x＝2，?∴解得? ?x－y－4＝0，?y＝－2，??
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明 过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0， ∴M与Q不可能重合，即|PM|＝42，
14
∴|PQ|<42，故所证成立.
【能力提升题组】(建议用时：15分钟)
13.(2019·丹东二模)已知直线l1：2x－y＋3＝0，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，若点M同时满足下列条件：
(1)点M是第一象限的点；
1(2)点M到l1的距离是到l2的距离的；
2
(3)点M到l1的距离与到l3的距离之比是2∶5. 则点M的坐标为( ) 1?A.??3，2? 1?C.??9，2? 【答案】 D
|2x0－y0＋3|1|4x0－2y0－1|13【解析】 设点M(x0，y0)，若点M满足(2)，则＝×，故2x0－y0＋＝0或2x0－
22516＋4|2x0－y0＋3|112|x0＋y0－1|
y0＋＝0，若点M(x0，y0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得＝×，即|2x0－y0
6552＋3|＝|x0＋y0－1|，故x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0，由于点M(x0，y0)在第一象限，故3x0＋2＝0不符合题1311????2x0－y0＋2＝0，?x0＝－3，?2x0－y0＋6＝0，意，联立方程得?解得?不符合题意；联立方程得?解得1
????x0－2y0＋4＝0，?y0＝2?x0－2y0＋4＝0，
137?B.??3，18? 137?D.??9，18?
?137??37即点M的坐标为??9，18?. ?y＝18，
0
1x0＝，
9
14.(2019·天津河东区模拟)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l12
的最大距离为3，则＋的最小值为( )
2ac9A. 2
【答案】 B
【解析】 因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，设点Q(4，0)到直线l的距离为d，当d＝|PQ|时取最大值，所以
（4－1）2＋（－m）2＝3，解得m＝0.所以a＋c＝
9B. 4
C.1
D.9
15
121?1＋2?＝1·?5＋c＋2a?≥1(5＋22，则＋＝(a＋c)·?2ac?2?22ac?222ac2c2a94
·)＝，当且仅当c＝2a＝时取等号. 2ac43
15.若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________. 【答案】 6x－5y－9＝0
【解析】 由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A(5，1)， AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
??2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得?
?2x－y－5＝0，???x＝4，
解得?所以顶点C的坐标为C(4，3).
??y＝3，
设B(x0，y0)，AB的中点M为?
?x0＋5y0＋1?
?，
?2，2?
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0， B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
???2x0－y0－1＝0，?x0＝－1，联立?解得?
???x0－2y0－5＝0.?y0＝－3，
所以顶点B的坐标为(－1，－3). 于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是________________. 【答案】 6x－8y＋1＝0
【解析】 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋333311
－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，取直线l上
44443m3m
m，b＋?，则点P关于点(2，3)的对称点为?4－m，6－b－?， 的一点P?4?4???
16
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