简单的线性规划

第8期 简单的线性规划教材解读

四川德阳 李昌辉

一、要点解析

1．二元一次不等式表示平面区域的判断

（1）对于直线Ax?By?C?0，只需在此直线的某一侧取一个特殊点?x0,y0?，从Ax0?By0?C的正负即可判断Ax?By?C＞0（＜0）表示直线哪一侧的平面区域。若直线Ax?By?C?0不过原点,通常取（0，0）代入。简记为“直线定界，原点定域”。

（2）B值判断法 区域 不等式 Ax?By?C＞0 Ax?By?C＜0 区域 B＞0 B＜0 直线Ax?By?C?0上方 直线Ax?By?C?0下方 直线Ax?By?C?0下方 直线Ax?By?C?0上方 主要看不等号与B的符号是否相同，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”. 2、简单的线性规划

（1）解线性规划的步骤：

①在平面直角坐标系中作出可行域； ②在可行域内找到最优解所对应的点； ③求出目标函数的最大值或最小值。 （2）解线性规划应用题的步骤：

①列表，转化为线性规划问题； ②找出线性约束条件；

③确定线性目标函数z=f（x，y）；

④画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；

⑤利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；

⑥观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。 二、典例解析

在近几年的高考中对线性规划及应用的考查试题难度不大，试题类型以填空题和选择题为主，也有部分省市考查了线性规划的实际应用，主要考查学生数形结合的解题能力。 （一）选择题：

（2010四川卷理7文8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产

品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）

（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 y （C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 80 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 70 ?x?y?70(15,55) ??10x?6y?480?x,y?N则?

目标函数z＝280x＋300y

结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大。 70 x 本题也可以将答案逐项代入检验。 48 0 答案：B 小结：本题命题意图是考查不等式中的线性规划，在线性约束条件下求目标函数的最值问题，考查同学们数形结合的数学思想。 （二）填空题：

（2010安徽卷理13）设x,y满足约束条件 ?2x?y?2?0??8x?y?4?0?x?0 , y?0?，若目标函数z?abx?y(a?0,b?0)的最大值为8，则a?b的最小值为________。 答案:4

1解析:不等式表示的区域是一个四边形,4个顶点是(0,0),(0,2),(,0),(1,4),

2易见目标函数在(1,4)取最大值8，

所以8?ab?4?ab?4，所以a?b?2ab?4，在a?b?2时是等号成立。所以

a?b的最小值为4.

小结：线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得

ab?4，要想求a?b的最小值，显然要利用基本不等式。

（三）解答题

（2010广东卷理19文19）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C。另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和64个单位的维生素C。

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的

营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z?2.5x?4y； 可行域为

?12x?8y?64,?3x?2y?16,?6x?6y?42,?x?y?7,????6x?10y?64,??3x?5y?32,?x?0,x?N,?x?0,???y?0,y?N.?y?0. ?即? 作出可行域如图所示：

经试验发现，当x?4,y?4时，花

费最少，为2.5?4?4?4?26元．

答：应当为该儿童分别预定4个单位的午餐和4个单位的晚餐。

小结：线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，若区域不封闭，则应对目标函数平移，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大或最小值。 三、温馨提示

1、不等式中若没有“=”号，平面区域不包括边界，若有“=”，则包括边界； 2、一个二元一次不等式组确定平面上的一个区域，它是组内各不等式所确定的区域的交集；

3、代点法中取试验点的窍门是：如果原点不在划分区域的边界直线上，取原点试验是最简便的，否则就找一个检验所在区域及代入方程计算简单的点；

4、在线性规划的实际应用中，往往在求出最优解的同时要求找出整数最优解，可以用精确图解网格法求整数最优解或利用穷举法求整数最优解。

作者简介:

李昌辉：男，38岁，中国数学会会员、四川省中学数学专委会会员、德阳市教育学会会员、中国数学奥林匹克教练员、四川师范大学课程与教学论数学教育硕士研究生、中学数学教学参考特约编辑、四川师范大学研究生处仿真学校2008级数学教研组组长、四川省考试院特聘高考数学科阅卷教师、2007年全国高考四川省优秀阅卷教师；2005-2007年主研的课题《高中数学教学中学生元认知能力的培养研究》获旌阳区科研课题一等奖，有多篇专业学术论文在权威刊物上发表或获奖，论文《平面向量中元认知能力的培养》获德阳市教科所一等奖,四川省二等奖。

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