[基础达标]
1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为( ) A．若a＞b，则2a≤2b C．若a≤b，则2a＞2b
B．若a≤b，则2a≤2b D．若a＞b，则2a＜2b
解析：选B.把条件和结论分别加以否定．
2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是( ) A．x＞－1 C．x＞1
解析：选D.x＞1?/ x＞2，故选D.
3.给出下列命题：①a＞|b|?a2＞b2；②a＞b?a3＞b3；③|a|＞b?a2＞b2.其中正确的个数是( )
A．0 C．1
B．2 D．3 B．x＞0 D．x＞2
解析：选B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确．
4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．
5.命题“如果a，b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是( ) A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数 B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数 C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数 D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数
解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结论交换，得“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．
6.下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写序号)． ①北京是中国的首都；
②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根； ③3n不是个大数； ④sin x＞－x2； ⑤0是自然数吗？
⑥我希望明年考上北京大学． 解析：①是命题，且是真命题． ②是命题，且是真命题．
③不是命题，因为无法判断其真假．
④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假． ⑤不是命题，因为它是疑问句． ⑥不是命题，因为它是祈使句． 答案：①② ①②
7.命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题为________．
解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可．
答案：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?
8.有下列四个命题：
①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题； ④命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题． 其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．
解析：④中由A∩B＝B，应该得出B?A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题． 答案：①②③
9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点．
解：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2. 逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真． 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真． 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．
(2)该命题为假．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假． 否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假． 10.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．
解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足
为O，则O∈c，
∵PO⊥π，a又a⊥b，b∴a⊥c.
π，∴PO⊥a，
平面PAO，PO∩b＝P，
平面PAO，
∴a⊥平面PAO，又c
(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．
[能力提升]
1.下列命题正确的个数为( )
①已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则3x－y的范围是[1，7]；
②若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的范围是(3＋1
)； 2
③如果正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是[8，＋∞)； 1
④a＝log12，b＝log13，c＝()0.5的大小关系是a＞b＞c.
332A．1 C．3
B．2 D．4
?λ＋μ＝3?
??λ－μ＝－1
7－1
，2
解析：选B.对①，令3x－y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，得?
??λ＝1，∴? ?μ＝2.?
，
∴(3x－y)min＝1×(－1)＋2×1＝1， (3x－y)max＝1×1＋2×3＝7， ∴3x－y∈[1，7]，①正确；
对②，令f(m)＝(x2－1)m－2x＋1，由题意f(m)＜0在[－2，2]上恒成立，即
2
??－2（x－1）－2x＋1＜0?， 2??2（x－1）－2x＋1＜0
解得7－13＋1
＜x＜，②正确； 22
对③，∵a，b∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2ab，由ab＝a＋b＋3，得ab≥2ab＋3.
即(ab)2－2ab－3≥0，解得ab≥3或ab≤－1(舍)，∴ab≥9，③不正确； 对④，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴④不正确．
2.设p：平面向量a，b，c互不共线，q表示下列不同的结论： ①|a＋b|＜|a|＋|b|.②a·b＝|a|·|b|.
③(a·b)c－(a·c)b与a垂直．④(a·b)c＝a(b·c)．
其中，使命题“若p，则q”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p：平面向量a，b，c互不共线， 则必有|a＋b|＜|a|＋|b|，①正确； 由于a·b＝|a||b|cos θ＜|a||b|，②不正确；
由于[(a·b)c－(a·c)b]·a＝(a·b)(c·a)－(a·c)(b·a)＝0，所以(a·b)c－(a·c)b与a垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a，b，c互不共线，故(a·b)c≠a(b·c)，④不正确．
综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③
3.求证：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明：该命题的逆否命题为：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2. 11
p2＋q2＝[(p＋q)2＋(p－q)2]≥(p＋q)2.
22∵p＋q＞2，∴(p＋q)2＞4，∴p2＋q2＞2. 即p＋q＞2时，p2＋q2≠2成立． ∴若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
x2
4．已知命题p：lg(x－2x－2)≥0；命题q：1－x＋＜1，若命题p是真命题，命题q
4
2
是假命题，求实数x的取值范围．
解：由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1， 即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3. x2
由1－x＋＜1，
4
得x2－4x＜0，解得0＜x＜4.
因为命题p为真命题，命题q为假命题，
??x≤－1或x≥3所以?，解得x≤－1或x≥4.
?x≤0或x≥4?
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
[A.基础达标]
1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是( )
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