湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年下学期期末考试
高二数学（理）试题
一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z?cos2?2?3?isin3在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.设A、B为非空集合，定义集合A*B为如图非阴影部分的集合，若A?{x|y?2x?x2}，
B?{y|y?3x,x?0}，则A*B?（ ）
A．?0,2? B．?0,1??2,??? C．(1,2] D．?0,1??2,???
3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a的取值范围为（ ）
S?0 i?1 DO S?S?i i?i?1 LOOP UNTIL i?a PRINT S END A．5?a?6 B．5?a?6 C．5?a?6 D． 5?a?6 4.使不等式x?1?4成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．2?x?3 B．?6?x?3 C.?5?x?3 D．?6?x?2
5.已知集合A?{1,2,3}，B??3,4?，则从A到B的映射f满足f(3)?3，则这样的映射共有（A．3个 B．4个 C.5个 D．6个 6.在直角坐标系中，若角?的终边经过点P??2??sin3,cos2??3??，在sin(???)?（ ） A．
12 B．3132 C.?2 D．?2
）7.定义运算a*b，a*b???a?a?b?x，例如1*2?1，则函数y?1*2的值域为（ ）
?b?a?b?A．?0,1? B．???,1? C.?1,??? D．?0,1?
8.若f(x)?lg(x?2ax?1?a)在区间(??,1]上单调递减，则a的取值范围为（ ） A．[1,2) B．?1，+?) D．[2，+?) 2? C.[1，2c分别为?ABC内角A，c成等比数列，9.已知a，且a，且B?b，C的对边，b，B，
（ ）
A．3 B．
?3，则
11??tanAtanC23432 C. D．
33210.已知a，若向量c满足(c?a)(c?b)?0，则c的最大值是（ ） b是平面内两个互相垂直的单位向量，
A．1 B．2 C.2 D．
2 211.已知函数y?f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y?A．1 B．
21则f1)(?1)('fx?2，
2的值等于（ ）
5 C.3 D．0 2x?112.设f(x)??x?2x?2(eA．(??,1)?e1?x)，则使得f(x?1)?f(2x?2)的x的取值范围是（ ）
11(3,??) B．(1,3) C.(??,)(1,??) D．(,1)
33213.已知函数f(x)??sinx，其中f'(x)为函数f(x)的导数，则x2019?1f(2018)?f(?2018)?f'(2019)?f'(2019)?（ ）
A.2 B.2019 C.2018 D.0
14.?ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a?b?c?20，三角形面积为103，A?60?，则a?( )
A.7 B.8 C.5 D.6
15.在?ABC中，已知ABAC?9，sinB?cosAsinC，S?ABC?6，P为线段AB上的一点，且
CP?xCACB11?y，则?的最小值为（ ）
xyCACBA.
737377? B. C. D.? 63123612二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.
16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?\”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的 条件(将正确的序号填入空格处).
①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件 17.对于a，b?N，规定a*b???a?b,a与b的奇偶性相同，集合M???a,b?a*b?36,a,b?N??，
a?b,a与b的奇偶性不同?则M中的元素的个数为 ．
18.已知平面向量a，b满足a?1，b?2，a?b?3，则a在b方向上的投影是 ．
19.已知函数f(x)?2x?sinx，若正实数a，b满足f(a)?f(2b?1)?0，则是 ．
14?的最小值ab20.已知集合{a,b,c}?{2,3,4}，且下列三个关系：a?3，b?3，c?4中有且只有一个正确，则函数
x??2,x?bf(x)??的值域是 ． 2??(x?c)?a,x?b三、解答题 ：本大题共5小题，每小题8份，共40分.
21. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
?sin2?=4cos?.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
?25t?x?1?
?5（2）若直线l的参数方程为?（t为参数），设点P(1,1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，
?y?1?5t?5?
求PA?PB的值.
22.如图，在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c ，若2acosA?bcosC?ccosB. （1）求角A的大小；
（2）若点D在边AC上，且BD是?ABC的平分线，AB?2，BC?4，求AD的长.
23.已知函数f(x)?e?tx（e为自然对数的底数）. （1）当t??e时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若对于任意x?(0,2]，不等式f(x)?0恒成立，求实数t的取值范围.
24. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0?x?100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
x?30,0?x?30?f(x)??(单位:分钟), 18002x??90,30?x?100??2而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义. 25.已知函数f(x)?ax?a，g(x)?alnx?x（a?0）. x2?1（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）求证：当a?0时，对任意x1，x2?(0,e]，总有g(x1)?f(x2)成立.
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年下学期期末考试
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