考点30 等比数列及其前n项和
1、设数列{an}满足2an＝an＋1(n∈N)，且前n项和为Sn，则的值为( ) A.15 2
15B．
4D．2
*
S4a2
C．4 【答案】A
a11－24
【解析】由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故＝
S4a21－2a1×2
＝
15
.故选A. 2
2、设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( ) A.C.
15
233 4
31B．
417D．
2
【答案】B
a1q·a1q＝1，??
【解析】设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得?a11－q3
＝7，??1－qa1＝9，??
?1q＝－?3?
3
a1＝4，??
解得?1
q＝??2
或
(舍去)，∴S5＝
a11－q1－q5
?1?4?1－5??2?31＝＝. 141－2
n－1
3、已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·21A．－
31C．－
2【答案】A
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·21
所以a＝－. 3
n－1
1
＋，则a的值为( ) 6
1B． 31D． 2
－a·2
n－2
＝a·2
n－2
11a，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，
662
4、在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为( ) A.2 C．2 【答案】D
1
B．3 D．3
【解析】由a9＝a2a3a4得a1q＝a1q，所以q＝a1.因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3. 5、已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则A.C.7 103 10
7B． 51D． 2
83622
b2
a1＋a2
的值为( )
【答案】C
【解析】因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b2＝1×9＝9，因为b1＝b2＞0，所以b2＝3，所以
2
2
3＝. a1＋a210
b2
6、在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则A．3 1
C．3或
3【答案】C
a15
＝( ) a5
1B．－
31
D．－3或－
3
?＝3，?a3q【解析】根据等比数列的性质得?10
?a31＋q＝4，?
52
1a15201010
化简得3q－10q＋3＝0，解得q＝3或，所以＝
3a5
a5q10101
＝q＝3或. a53
7、古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( ) A．7 C．9 【答案】B
【解析】设该女子第一天织布x尺，则
B．8 D．10
x1－25
1－2
5
＝5，得x＝，
31
5n5nn∴前n天所织布的尺数为(2－1)．由(2－1)≥30，得2≥187，则n的最小值为8.
31311a4＋a5
8、已知各项均是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
2a3＋a4A.
5－1
25－1
2
B．D．5＋1
2
5－15＋1
或 22
2
C．－
【答案】B
1＋5a4＋a51＋52
【解析】设{an}的公比为q(q＞0)．由a3＝a2＋a1，得q－q－1＝0，解得q＝.从而＝q＝.
2a3＋a421*
9、已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )
3A．－5 C．5 【答案】A
【解析】因为log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an. 所以数列{an}是公比q＝3的等比数列， 所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q＋q)＝9.
所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q＋q)＝a2q(1＋q＋q)＝9×3＝3. 155
所以log3＝－log33＝－5.
3
10、在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】B
【解析】当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有B.
111
11、在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为( )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2
4
3
2
4
3
5
2
4
1B．－ 51D． 5
an＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选an－1
a1a2a8
A．2 C．8 【答案】A
B．4 D．16
111a8＋a1a7＋a2a4＋a5
【解析】由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋…＋.因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原
a1a2a8a8a1a7a2a4a5
式＝
a1＋a2＋…＋a841114
＝，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)，an＞0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2.
a4a5a4a5a1a2a8
12、已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn.若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝( ) A．512 C．81 【答案】A
3
B．256 D．16
【解析】由题意知，a3a4a7q＝a3a7a4q＝a3a7a5＝a5＝8，Ⅱ9＝a1a2a3…a9＝(a1a9)(a2a8)·(a3a7)(a4a6)a5＝a5，所以Ⅱ9＝8＝512.
1*
13、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N)的取值范围是( )
4A．[12,16]
3
39
?32?B．?8，?
3???1632?D．?，? ?33?
?32?C.?8，?
3??
【答案】C
1a5113
【解析】因为{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，所以q＝＝，q＝，a1＝4，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝
4a282
a1a21－q2n32?32?2n＝(1－q)∈?8，?，故选C. 2
3?1－q3?
14、设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的( ) A．充要条件 C．必要而不充分条件 【答案】C
【解析】若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0，则a1＋a2＜0，又a1＞0，所以a2＜0，所以q＝＜0.若q＜0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0.所以“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要而不充分条件，故选C.
15、已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为( ) A．126 C．132 【答案】C
【解析】设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.又b3＝18，b6＝12，则a1q18
5
12
3
－6
－2
22
2
B．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
a2
a1
B．130 D．134
＝10，a1q＝10，∴q＝10，即q＝10，∴a1＝10.∵{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且公差d＝－2，b1＝22，故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴数列{bn}的前n项和Sn＝22n＋
nn－1
2
×(－
?23?25292*
2)＝－n＋23n＝－?n－?＋.又n∈N，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.
2?4?
16、设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝( ) A．15 C．63
B．60 D．72
4
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