【答案】B
【解析】由数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，得数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)1＝n＋2.由数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，得数列{bn}的通项公式为bn＝b1q4×
所以ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝2＋2＋2＋2＝
2
3
4
5
n－1
＝2
n－1
，所以ban＝2
n＋1
，
1－21－2
4
＝60.
17、已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝【答案】1 024
【解析】∵b1＝＝a2，b2＝， ∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝，
∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1， ∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)＝2＝1 024.
10
10
an＋1
，若b10·b11＝2，则a21＝________. ana2a1a3a2
a4a3
1
18、已知{an}为等比数列，且a3＋a6＝36，a4＋a7＝18.若an＝，则n＝________.
2【答案】 9
125
【解析】设{an}的公比为q，由a3＋a6＝36，a4＋a7＝(a3＋a6)q＝18，解得q＝，由a1(q＋q)＝36得a1＝128，
21?1?n－1?1?n－8
进而an＝128·??＝??.由an＝，解得n＝9.
2?2??2?
19、设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为________． 【答案】64
12
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q＝10，
2∴a1＝8.
故a1a2·…·an＝a1qn1＋2＋…＋(n－1)
?1?3n＝2·??
?2?
n－1n2
＝23n－＋＝2－＋n.
2222
121?7?249
记t＝－＋＝－(n－7n)＝－?n－?＋，
2?2222?8结合n∈N可知n＝3或4时，t有最大值6.
又y＝2为增函数，从而a1a2·…·an的最大值为2＝64.
20、设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________. 【答案】15
【解析】由题意得an＝(－2)
n－1
t6
*
n2nn27
n27n，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|－2|＋(－2)＋|(－2)|＝15.
23
5
21、已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.对任意的m∈N，将数列{an}中不大于7的项的个数记为bm，则数列{bm}的前m项和Sm＝________. 7
【答案】
2m＋1
*2m－7 48
5×5－1??5a1＋d＝105，
2【解析】设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn.由T5＝105，a10＝2a5，得?
??a1＋9d＝2a1＋4d，
*
*
2m
解
得a1＝7，d＝7，因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N)．对任意的m∈N，若an＝7n≤7，则n≤7
－1
2m.因此bm＝7－7
. 48
2m－1
7×
，所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm＝
1－49
1－49
m7×7－1＝＝
48
2m7
2m＋1
22、已知等差数列{an}的公差d＞0，且a2，a5－1，a10成等比数列，若a1＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则2Sn＋n＋32
的最小值为________．
an＋120
【答案】
3
【解析】由于a2，a5－1，a10成等比数列，所以(a5－1)＝a2·a10，(a1＋4d－1)＝(a1＋d)·(a1＋9d)，又a1＝5，所以d＝3，所以an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，Sn＝na1＋
2
2
2
nn－1
2
d＝5n＋n(n－1)，所以
322Sn＋n＋32
＝an＋1
3n＋8n＋321272027
＝[3(n＋1)＋＋2]≥，当且仅当3(n＋1)＝，即n＝2时等号成立．
3n＋33n＋13n＋123、设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
??1，n＝1，【答案】(1) an＝?n－2
??2，n≥2.
2
(2)
2n＋1
＋1 3
【解析】(1)∵S1＝a1＝1，
且数列{Sn}是以2为公比的等比数列， ∴Sn＝2
n－1
，
n－2
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2(2－1)＝2
n－2
.
当n＝1时a1＝1，不适合上式．
?1，n＝1，?
∴an＝?n－2
??2，n≥2.
(2)∵a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
6
2
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝
1－41－4
n2＝
4－1
. 3
2n＋1
n2
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋24、已知数列{an}满足a1＝
4－12＋1
＝. 33899
，an＋1＝10an＋1. 9
n?1?
(1)证明：数列?an＋?是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
9??
?1?1?1??的前n项和，求证：Tn＜. a＋(2)数列{bn}满足bn＝lg?n?，Tn为数列?
9?2??bnbn＋1?
1
?91?1?110?(1)【解】由an＋1＝10an＋1，得an＋1＋＝10an＋＝10?an＋?，所以＝10，所以数列?an＋?是等比数
9?9?991??
an＋
9
an＋1＋
1
列，首项为a1＋＝100，公比为10.
9
11n－1n＋1n＋1
所以an＋＝100×10＝10，所以an＝10－.
991??n＋1
(2)【证明】由(1)可得bn＝lg?an＋?＝lg 10＝n＋1，
9??所以
1
bnbn＋1
＝
1
n＋1n＋2
＝11－， n＋1n＋2
?11??11??1－1?＝1－1＜1，
所以Tn＝?－?＋?－?＋…＋???23??34??n＋1n＋2?2n＋22
1
所以Tn＜. 2
35*
25、设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
24(1)求a4的值；
?1?
(2)证明：?an＋1－an?为等比数列．
2??
(1) 【解】当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
?35??3??35?即4?1＋＋＋a4?＋5?1＋?＝8?1＋＋?＋1，
?24??2??24?
7解得a4＝. 8
(2)【证明】由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得
4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．
7
5*
∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N)．
4124an＋2－2an＋14an＋1－an－2an＋12an＋1－an1
∴＝＝＝＝. 14an＋1－2an4an＋1－2an22an＋1－an2an＋1－an2
an＋2－an＋1
?1?11
∴数列?an＋1－an?是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．
2?22?
26、已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝，求λ.
32
1?λ?n－1
【答案】(1) ?? (2) －1
1－λ?λ－1?【解析】(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 1
故λ≠1，a1＝，故a1≠0.
1－λ由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以
an＋1λ＝. anλ－1
1λ因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
1－λλ－11?λ?n－1
于是an＝??.
1－λ?λ－1?(2)由(1)得Sn＝1－?
?λ?n.
??λ－1?
31?λ?5＝31，即?λ?5＝1. 由S5＝得1－???λ－1?32
32?λ－1?32??解得λ＝－1.
27已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn. 1n【答案】(1) 3n (2) [(－2)－1]
3【解析】(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6， ∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19， ∴b1＝1，
8
相关推荐：
loading