22015级高考第一轮复习数学函数的奇偶性与周期性

解析：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，从而得 f(π)＝f[－1×4＋π]＝f(π－4)＝－f(4－π) ＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)．

故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图

?1?

形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×2×2×1?＝4.

?

????

[B组 因材施教·备选练习]

1．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0

?x3?x<0?

时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝?，

?g?x??x>0?

若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )

A．(－2,1) 2)∪(2，＋∞) C．(－1,2) 2，0)∪(0,1)

解析：因为函数g(x)是R上的奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，而当x＝0时，x3＝ln(1＋x)＝0，在函数f(x)中补充f(0)＝0，则根据y＝x3，y＝ln(1＋x)都是单调递增的，可

D．(－2，－2)∪(－B．(－∞，－2)∪(1，

得函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2

答案：D

2．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

解析：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数，证明如下：

令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝f(1)＝0，解得f(－1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x， 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)． ∴f(x)为偶函数．

(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， 而f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3， 即f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*) ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴(*)式等价于不等式组

??

?3x＋1??2x－6?>0，

??3x＋1??2x－6?≤64

??3x＋1??2x－6?<0，或? ??3x＋1??2x－6?≥－64.?x>3或x<－1，?3解得?

7?－≤x≤5?3

1??－3

711

∴3

333711∴x的取值范围为{x|－≤x<－或－

333或3