2020年中考数学二轮复习压轴专题：四边形(解析版)

∴四边形EFGH是菱形， 由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH， ∴四边形EFGH的形状为正方形． ∴∠HEF＝90°

∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3．

∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠2＝∠4． 在△AEH与△BFE中，

，

∴△AEH≌△BFE（ASA） ∴AE＝BF．

故答案为正方形，AE＝BF．

（4）利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形， ∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4﹣x．

∴y＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝4×4﹣4×x（4﹣x）＝2x2﹣8x+16． ∴y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4） ∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，

∴当x＝2时，y取得最小值8；当x＝0时，y＝16， ∴y的取值范围为：8≤y＜16．

8．已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点B的坐标是（6，4）．

（1）直接写出A点坐标（ 6 ， 0 ），C点坐标（ 0 ， 4 ）；

（2）如图2，D为OC中点．连接BD，AD，如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；

（3）如图3，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发．以每秒2个单位的速度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0），在M，N运动过程中．当MN＝5时，直接写出时间t的值． 解：（1）∵四边形OABC是长方形， ∴AB∥OC，BC∥OA， ∵B（6，4），

∴A（6，0），C（0，4）， 故答案为：6，0，0，4；

（2）如图2，

由（1）知，A（6，0），C（0，4）， ∴OA＝6，OC＝4， ∵四边形OABC是长方形， ∴S长方形OABC＝OA?OC＝6×4＝24， 连接AC，

∵AC是长方形OABC的对角线， ∴S△OAC＝S△ABC＝S长方形OABC＝12， ∵点D是OC的中点， ∴S△OAD＝S△OAC＝6，

∵四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍， ∴S四边形OADP＝2S△ABC＝24，

∵S四边形OADP＝S△OAD+S△ODP＝6+S△ODP＝24， ∴S△ODP＝18，

∵点D是OC的中点，且OC＝4， ∴OD＝OC＝2， ∵P（m，1），

∴S△ODP＝OD?|m|＝×2|m|＝18，

∴m＝18（由于点P在第二象限，所以，m小于0，舍去）或m＝﹣18， ∴P（﹣18，1）；

（3）如图3，

由（2）知，OA＝6，OC＝4， ∵四边形OABC是长方形， ∴∠AOC＝∠OCB＝90°，BC＝6， 由运动知，CM＝t，AN＝2t， ∴ON＝OA﹣AN＝6﹣2t， 过点M作MH⊥OA于H，

∴∠OHM＝90°＝∠AOC＝∠OCB， ∴四边形OCMH是长方形， ∴MH＝OC＝4，OH＝CM＝t，

∴HN＝|ON﹣CM|＝6﹣2t﹣t|＝|6﹣3t|，

在Rt△MHN中，MN＝5，根据勾股定理得，HN2＝MN2﹣MH2， ∴|6﹣3t|2＝52﹣42＝9， ∴t＝1或t＝3， 即：t的值为1或3．

9．综合与实践 问题情境

数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？

（1）小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：

思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数． 请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程． 类比探究

（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，拓展应用

（3）如图3，在边长为则△AOC的面积是

的等边三角形ABC内有一点O，∠AOC＝90°，∠BOC＝120°， ．

，求∠APB的度数．

解：（1）思路一，如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，

则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝3，BP'＝BP＝2，∠PBP'＝90° ∴∠BPP'＝45°， 根据勾股定理得，∵AP＝1，

∴AP2+P'P2＝1+8＝9， 又∵P'A2＝32＝9， ∴AP2+P'P2＝P'A2，

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°， ∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°． 思路二、同思路一的方法．

（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．

，

则△ABP'≌△CBP，∴∠BPP'＝45°， 根据勾股定理得，∵AP＝3，

∴AP2+P'P2＝9+2＝11， 又∵

∴AP2+P'P2＝P'A2，

，

，BP'＝BP＝1，∠PBP'＝90°

，

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，