2016-2017学年高中数学 模块综合测试 新人教A版必修2

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23FM＝.

3

2333

2λ＝.

3

FMFA

由FM∥PO，得＝＝λ

POPA

＝λ

21．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB

(1)求证：平面SAB⊥平面SAD.

CD

(2)设SB的中点为M，当为何值时，能使DM⊥MC？请给出证明．

AB解：(1)证明：∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD. 又∵SD⊥平面ABCD，

平面ABCD，∴SD⊥AB.

又∵SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD. 又

平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD.

CD

(2)当＝2时，能使DM⊥MC.

AB

证明：连接BD，

∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a， ∴BD＝2a，∠BDA＝45°， ∴SD＝BD.

又∵M为SB的中点，

∴DM⊥SB.①

设CD的中点为P，连接BP， ∴DP∥AB，且DP＝AB. 故四边形ABPD是平行四边形． ∴BP∥AD.故BP⊥CD. 因而BD＝BC.

又∵∠BDC＝90°－∠BDA＝45°， ∴∠CBD＝90°，即BC⊥BD.

又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面SBD. 又

平面SBD，∴DM⊥BC.②

由①②知DM⊥平面SBC， 又

平面SBC，∴DM⊥MC.

22．(12分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C，D两点．

(1)求圆M与圆N的方程；

(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

解：(1)∵点M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程为(x－3)＋(y－1)＝1.

2

2

设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM，则MA⊥x轴，NC⊥x轴， 由题意知：M，N点都在∠COD的平分线上，

∴O，M，N三点共线．

由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OMON＝MANC， 即21＝3＋rr

＝3，则OC＝33，

2

2

则圆N的方程为(x－33)＋(y－3)＝9.

(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y＝

3

(x－3)，即x－3y－3＝0， 3

3， 2

圆心N到该直线的距离d＝则弦长为2r－d＝33.

2

2