2019年全国I卷理科数学高考真题

（1）

111???a2?b2?c2； abc333（2）(a?b)?(b?c)?(c?a)?24．

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学?参考答案

一、选择题

1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x 三、解答题

17．解：（1）由已知得sin214．

121 315．0.18 16．2

B?sin2C?sin2A?sinBsinC，故由正弦定理得b2?c2?a2?bc．

b2?c2?a21?． 由余弦定理得cosA?2bc2因为0??A?180?，所以A?60?．

?（2）由（1）知B?120?C，由题设及正弦定理得2sinA?sin?120??C??2sinC，

即6312?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????． 2222?由于0?C?120?，所以sin?C?60???2，故 2?6?2． 418．解：（1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=

1B1C． 21A1D． 2又因为N为A1D的中点，所以ND=

由题设知A1B1?DC，可得B1C?A1D，故ME?ND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则

A(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，

A1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．

??m?A1M?0设m?(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则?，

??m?A1A?0???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．

???4z?0．??n?MN?0，n?(p,q,r)AMN 设为平面1的法向量，则???n?A1N?0．???3q?0，所以?可取n?(2,0,?1)．

???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为19．解：设直线l:y?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 2（1）由题设得F?35?3?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．

22?4?3?y?x?t12(t?1)?22x?x??9x?12(t?1)x?4t?0由?，可得，则． 21292??y?3x从而?12(t?1)57?，得t??． 928所以l的方程为y?37x?． 28（2）由AP?3PB可得y1??3y2．

3?y?x?t?2由?，可得y?2y?2t?0． 22??y?3x所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3． 代入C的方程得x1?3,x2?1． 3故|AB|?413． 320．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx?11，g'(x)??sinx?. 2(1?x)1?x当x???1,设为?.

?????????1,时，单调递减，而，可得在g'(0)?0,g'()?0g'(x)g'(x)???有唯一零点，

22?2??则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?????时，g'(x)?0. 2???????所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,?单调递减，故g(x)在??1,?存在唯一极大值点，

2??2?????即f'(x)在??1,?存在唯一极大值点.

2??（2）f(x)的定义域为(?1,??).

,0]时，由（1）知，f'(x)在(?1,0)单调递增，而f'(0)?0，所以当x?(?1,0)（i）当x?(?1时，f'(x)?0，故f(x)在(?1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x?0是f(x)在(?1,0]的唯一零点.

??????（ii）当x??0,?时，由（1）知，f'(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减，而f'(0)=0，

22?????????????f'???0，所以存在????,?，使得f'(?)?0，且当x?(0,?)时，f'(x)?0；当x???,??2??2??2????时，f'(x)?0.故f(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减.

?2?????????????

又f(0)=0，f???1?ln?1???0，所以当x??0,?时，f(x)?0.从而，f(x) 在?0,?

?2??2??2??2?

没有零点.

??????（iii）当x??,??时，f'(x)?0，所以f(x)在?,??单调递减.而

?2??2????所以f(x)在?,??有唯一零点.

?2????f???0，f(?)?0，?2?（iv）当x?(?,??)时，ln(x?1)?1，所以f(x)<0，从而f(x)在(?,??)没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点.

21．解：X的所有可能取值为?1,0,1.

所以X的分布列为 （2）（i）由（1）得a?0.4,b?0.5,c?0.1.

因此pi=0.4pi?1+0.5 pi+0.1pi?1，故0.1?pi?1?pi??0.4?pi?pi?1?，即

pi?1?pi?4?pi?pi?1?.

又因为p1?p0?p1?0，所以?pi?1?pi?(i?0,1,2,（ii）由（i）可得

,7)为公比为4，首项为p1的等比数列．

p8 ?p8?p7?p7?p6?由于p8=1，故p1??p1?p0?p0 ??p8?p7???p7?p6??48?1??p1?p0??p1 .

33，所以 48?1p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治

愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4?常小，说明这种试验方案合理.

1?0.0039，此时得出错误结论的概率非257