→→→→→→
4．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．
5．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两→→→→
点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．
利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．
5
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 可用向量共线的相关知识：
a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
思考2 可用向量垂直的相关知识：
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
梳理 向量的线性运算及数量积 知识点二
1．向量问题 2.向量运算 3.翻译 知识点三
(1)向量 (2)加法运算与减法运算 题型探究
例1 解 (1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任→→
意一点，则DM∥DE. →
DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)．
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0. →→
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则CN⊥AB. →→
∴CN·AB＝0.
→→
又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)． ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程． →→
跟踪训练1 解 AB＝(3,4)，AC＝(－8,6)， ∠A的平分线的一个方向向量为
→
a＝
AC?34??43??17?＋＝?，?＋?－，?＝?－，?. →→?55??55??55?|AB||AC|
AB→→
设P(x，y)是角平分线上的任意一点， ∵∠A的平分线过点A，
6
→
∴AP∥a，
71
∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.
55整理得7x＋y－29＝0.
例2 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，
F(0,1)．
→→
(1)∵BE＝(－1,2)，CF＝(－2，－1)． →→
∴BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， →→
∴BE⊥CF，即BE⊥CF. (2)设点P坐标为(x，y)， →
则FP＝(x，y－1)， →
FC＝(2,1)，∵FP∥FC，
∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， →→
同理，由BP∥BE，得y＝－2x＋4，
→→
??x＝2y－2，由?
?y＝－2x＋4，?
2
6
x＝，??5得?8
y＝??5，
68
∴点P的坐标为(，)．
55→∴|AP|＝即AP＝AB.
跟踪训练2 证明 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0 →→→→→→→→→→→→→→∴DP·EF＝(DA＋AP)·(EP＋PF)＝DA·EP＋DA·PF＋AP·EP＋AP·PF ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋2a×a×cos 45°＋2a×(1－a)×cos 45° ＝－a＋a＋a(1－a)＝0. 2 65 ＋ 85 2 →＝2＝|AB|， 7 →→ ∴DP⊥EF，即DP⊥EF. →→→ 例3 (1)解 如图，两根绳子的拉力之和OA＋OB＝OC， →→ 且|OC|＝|OG|＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°. 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°， 则∠OAC＝90°， →→ 从而|OA|＝|OC|·cos 30°＝1503(N)， →→ |AC|＝|OC|·sin 30°＝150(N)， →→ 所以|OB|＝|AC|＝150(N)． 答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. (2)解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)， 设帆船行驶的速度为v， 则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,103)，向量v2＝(20,0)， 则帆船的行驶速度为 v＝v1＋v2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)， 所以|v|＝30＋103 2 2 ＝203(km/h)． 1033因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，且为锐角)， 303所以α＝30°， 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203 km/h. → 跟踪训练3 解 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作OA→→→→→→ ＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，连结OC，如图，则OC＝a＋b，并且OC即为小船的实际航行速度． 8
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