数学建模实验答案 离散模型

实验09 离散模型（2学时）

（第8章 离散模型）

1. 层次分析模型

1.1（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264

已知正互反阵

26??1?A??1/214????1/61/41??

注：[263]定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 ≥ n。

★(1) 用MATLAB函数求A的最大特征根和特征向量。

调用及运行结果（见[264]）：

>> A=[1 2 6; 1/2 1 4; 1/6 1/4 1]; >> [V,D]=eig(A) V = 0.8685 -0.8685 -0.8685 0.4779 0.2390 - 0.4139i 0.2390 + 0.4139i 0.1315 0.0658 + 0.1139i 0.0658 - 0.1139i D = 3.0092 0 0 0 -0.0046 + 0.1663i 0 0 0 -0.0046 - 0.1663i >> D=diag(D) D = 3.0092 -0.0046 + 0.1663i -0.0046 - 0.1663i >> D=D.*(imag(D)==0) D = 3.0092 0 0 >> [lambda,k]=max(D) lambda = 1

3.0092 k = 1 >> w=V(:,k)/sum(V(:,k)) w = 0.5876 0.3234 0.0890 (2) 幂法（见[263]）

A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下：

a. 任取n维非负归一化初始列向量（分量之和为1）w(0)；

%b. 计算w(k?1)?Aw(k),k?0,1,2,L；

(k?1)(k?1)%c. w归一化，即令w?(k?1)%w%?wi?1n；

(k?1)id. 对于预先给定的精度ε，当|wi(k?1)?wi(k)|??(i?1,2,L,n)时，w(k?1)即

为所求的特征向量；否则返回到步骤b；

(k?1)%1nwie. 计算最大特征根???(k)。

ni?1wi注：

(k?1)%Aw(k)??w(k)?w??w(k)?(k?1)%wi???(k)wii?1,2,L,n

函数式m文件如下： function [lambda w]=p263MI(A,d) %幂法——求正互反阵最大特征根和特征向量 % A % d 正互反方阵 精度 2

% lambda 最大特征根 % w 归一化特征列向量 if(nargin==1) %若只输入一个变量（即A），则d取0.000001 d=1e-6; end n=length(A); %取方阵A的阶数 w0=rand(n,1); w0=w0/sum(w0);%任取归一化初始列向量 while 1 ww=A*w0; w=ww/sum(ww); %归一化 if all(abs(w-w0)

调用及运行结果（见[264]）：

(3) 和法（见[264]）

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A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下：

aij~w?a. 将A的每一列向量归一化得ij； n?aiji?1~?w~按行求和得wb. 对w?~ij； iijj?1n~wi~,w?(w1,w2,?,wn)T即为近似特征向量； c. 将wi归一化wi?n~?wii?11n(Aw)id. 计算???，作为最大特征根的近似值。

ni?1wi函数式m文件如下： function [lambda w]=p264HE (A) %和法——求正互反阵最大特征根和特征向量 % A 正互反方阵 % lambda 最大特征根 % w 归一化特征列向量 AA=A/diag(sum(A)); %a. 将A的每一列向量归一化 ww=sum(AA,2); %b. 对AA按行求和，ww为列向量 w=ww./sum(ww); %c. 归一化，得w为近似特征列向量 lambda=sum(A*w./w)/ length(A); %d. 计算最大特征根的近似值λ ☆(3) 用和法函数求A的最大特征根和特征向量。

调用及运行结果（见[264]）：

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