空间解析几何
一．旋转曲面的方程
1. 在曲线C的方程f(y? z)?0中将y改成?x2?y2? 便得曲线C绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程f(?x2?y2, z)?0?
2. 曲线C绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
f(y, ?x2?z2)?0? 练习1
22将zOx坐标面上的双曲线x2?z2?1分别绕x轴和z轴旋转一周? 求所生成的旋转
ac曲面的方程?
解 绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为
x2?y2?z2?1? a2c2绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为
x2?y2z2?2?1? a2c这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面? 二．柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面? 定曲线C叫做柱面的准线? 动直线L叫做柱面的母线
222
练习2：不含z的方程x?y?R在空间直角坐标系中表示圆柱面? 它的母线平行于z轴? 它的
222
准线是xOy 面上的圆x?y?R
三．空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线? 设
F(x? y? z)?0和G(x? y? z)?0
是两个曲面方程? 它们的交线为C? 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程? 所以应满足方程组
?F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0? ? 反过来? 如果点M不在曲线C上? 那么它不可能同时在两个曲面上? 所以它的坐标不满足方程组?
因此? 曲线C可以用上述方程组来表示? 上述方程组叫做空间曲线C的一般方程?
?z?a2?x2?y2?练习3 方程组?a)2?y2?(a)2表示怎样的曲线(x??22?
解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O? 半行为a的上半球面? 第二个方程表
示母线平行于z轴的圆柱面? 它的准线是xOy 面上的圆? 这圆的圆心在点(a, 0)? 半行为a?
22方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线?
方程Ax?By?Cz?D?0称为平面的一般方程? 其中x? y? z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标? 即
n?(A? B? C)? D?平面过原点 n?BC)法线向量垂直于x轴? 平面平行于x轴 n?(AC)? 法线向量垂直于y轴? 平面平行于y轴 n?(AB? 法线向量垂直于z轴? 平面平行于z轴 n?(0C)? 法线向量垂直于x轴和y轴? 平面平行于xOy平面 n?(A0? 法线向量垂直于y轴和z轴? 平面平行于yOz平面 n?B? 法线向量垂直于x轴和z轴? 平面平行于zOx平面
练习4 求通过x轴和点(4? ?3? ?1)的平面的方程?
解 平面通过x轴? 一方面表明它的法线向量垂直于x轴? 即A?0? 另一方面表明它必通过原点? 即D?0? 因此可设这平面的方程为 By?Cz?0?
又因为这平面通过点(4? ?3? ?1)? 所以有
?3B?C?0?
或 C??3B ?
将其代入所设方程并除以B (B?0)? 便得所求的平面方程为 y?3z?0?
四．平面的点法式方程
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0是由平面?上的一点M0(x0? y0? z0)及它的一个法线向量n ?(A? B? C)确定的? 所以此方程叫做平面的点法式方程
练习5 求过三点M1(2? ?1? 4)、M2(?1? 3? ?2)和M3(0? 2? 3)的平面的方程? 解 我们可以用M1M2?M1M3作为平面的法线向量n? 因为M1M2?(?3, 4, ?6)? M1M3?(?2, 3, ?1)? 所以
????ijk n?M1M2?M1M3??34?6?14i?9j?k?
?23?1??根据平面的点法式方程? 得所求平面的方程为 14(x?2)?9(y?1)?(z ?4)?0?
即 14x?9y? z?15?0?
五．直线的对称式方程或点向式方程 已知直线L通过点M0(x0? y0? x0且直线的方向向量为
设M (x? y? z)在直线L上的任一点? 那么 (x?x0? y?y0? z?z0)//s?
?m? n? p)? 求直线L的方程
从而有
x?x0y?y0z?z0??mnp
这就是直线L的方程? 叫做直线的对称式方程或点向式方程
x?x0y?y0z?z0设得方程组 ???tmnp?x?x0?mt? ?y?y0?nt?
??z?z0?pt此方程组就是直线的参数方程?
?x?y?z?1用对称式方程及参数方程表示直线??2x?y?3z?4 解先求直线上的一点? 取x?1? 有
练习6
?y?z??2 ?
??y?3z?2解此方程组? 得y??2? z?0? 即(1? ?2? 0)就是直线上的一点?
再求这直线的方向向量s? 以平面x?y?z??1和2x?y?3z?4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s :
ijk s?(i?j?k)?(2i?j?3k)?111 ?4i?j?3k?
2?13 因此? 所给直线的对称式方程为
y?2z x?1?? ?4?1?3y?2z 令x?1???t? 得所给直线的参数方程为
4?1?3?x?1?4t? ?y??2?t??z??3t
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