(浙江专用)2020年高考数学一轮复习讲练测专题5.3平面向量的数量积及应用(讲)(含解析)

第03讲 平面向量的数量积及应用 ---讲

1.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 2.掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系. 3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直. 4.高考预测：

（1）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；

（2）同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． 5.备考重点：

（1）理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；

（2）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.

知识点1．平面向量的数量积 一、两个向量的夹角 1．定义

uuuruuur已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

2．范围

向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直

如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b. 二、平面向量的数量积

1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos

θ，其中θ是a与b的夹角．

规定0·a＝0.

当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0. 2．a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 三、数量积的运算律

1

1．交换律：a·b＝b·a.

2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．

【典例1】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知

,

则

的值为

A．C．

B． D．0

【答案】C

【解析】如图所示，连结MN，

由则

由题意可知：

，

可知点

，

分别为线段上靠近点的三等分点，

，

结合数量积的运算法则可得：

.

本题选择C选项. 【总结提升】

计算向量数量积的三种常用方法

(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．

(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．

2

(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 【变式1】（2019·山西省静乐县第一中学高三月考）在?ABC中则BC在CA方向上的投影为（ ）． A．4 【答案】C 【解析】对等式

两边平方得，

B．3

C．-4

D．5

,

uuuruuuruuuruuuruuuruuur，整理得，AB?AC?0，则AB?AC，

，

uuuruuur设向量BC与CA的夹角为?， uuuruuur所以，BC在CA方向上的投影为

故选：C.

知识点2．平面向量的数量积的性质及运算 一、向量数量积的性质

1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b?a·b＝0.

2

3．a·a＝|a|，|a|=a?a. ，

4．cos θ＝

a?b.(θ为a与b的夹角)

|a||b|5．|a·b|≤|a||b|. 二、数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： 1．a·b＝a1b1＋a2b2. 2．a⊥b?a1b1＋a2b2＝0. 3．|a|＝a1＋a2.

2

2

4．cosθ＝

a?b＝

|a||b|.(θ为a与b的夹角)

【典例2】（2018·浙江高考真题）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，

3

向量b满足b?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是（ ）

2

A． B． C．2 D．

【答案】A 【解析】设则由由

得

得

，

，

因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.

【思路点拨】 先确定向量

所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.

，则

rrrrrr【变式2】（2019·浙江高三期末）若向量a,b,c满足a?b，c?0且

的最小值是__.

【答案】2 【解析】

设OA?a，OB?b，OC?c，由

uuurruuurruuurr可知CA?CB，所以点C在以AB为直径的圆上；

rrrr设a?b?2x,a?b?2y，则

而c表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离，

，

r所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径，即c?x?y，

r所以

，即最小值为2.故答案为2.

4

考点1 平面向量数量积的运算

【典例3】（2018·全国高考真题（理））已知向量，满足A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【解析】因为所以选B. 【总结提升】

①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；

②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 【变式3】已知向量

A、13 B、【答案】D

，

，则

（ ）

rr，则a在23b方向上的投影为（ ）

6513 C、65 D、

55【解析】因为，所以，则

rr，则a在b方

rr65向上的投影既是a在23b方向上的投影为.

5考点2 平面向量数量积的坐标运算

→→→→

π

【典例4】(2019·成都模拟)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足AP＝λAB，λ∈R，若BD·CP＝

3－3，则λ的值为( ) 1111A. B．－ C. D．－ 2233【答案】A

→→

π

【解析】法一：由题意可得BA·BC＝2×2cos＝2，

3→

→→→→→BD·CP＝(BA＋BC)·(BP－BC)

5