课时规范练17 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
一、选择题
1.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 答案:C
解析:函数y=sin x的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y=sin的图象;再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin的图象,所以所求函数的解析式是y=sin.故选C.
2.若把函数f(x)=sin ωx的图象向左平移个单位,恰好与函数y=cos ωx的图象重合,则ω的值可能是( ) A. B. C. D. 答案:D
解析:将函数y=sin ωx的图象向左平移个单位长度,
则得到函数y=sinω=sin的图象, 因为y=cos ωx=cos(-ωx)=sin, 所以+2kπ,ω=+6k,k∈Z, 所以当k=0时,ω=,选D.
3.(2013四川高考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( ) A.2,- B.2,- C.4,- D.4, 答案:A
解析:由图象可得,
∴T=π,则ω==2,再将点代入f(x)=2sin(2x+φ)中得sin=1, 令+φ=2kπ+,k∈Z, 解得,φ=2kπ-,k∈Z, 又∵φ∈,则取k=0, ∴φ=-.故选A.
4.已知函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标为x1, x2,若|x2-x1|的最小值为π,则( ) A.ω=2,θ= B.ω=,θ= C.ω=,θ= D.ω=2,θ= 答案:A 解析:∵y=2sin(ωx+θ)为偶函数,0<θ<π,
∴θ=. ∵图象与直线y=2的两个交点的横坐标为x1,x2,|x2-x1|min=π,∴=π,ω=2.故选A.
5.函数f(x)=sin,给出下列三个命题:①函数f(x)在区间上是减函数;②直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴;③函数f(x)的图象可以由函数y=sin 2x的图象向左平移个单位得到. 其中正确的是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.①②③ 答案:B 解析:∵≤x≤,
∴≤2x+, ∴f(x)在上是减函数,故①正确.
fsin,故②正确.
y=sin 2x向左平移个单位得y=sincos 2x≠f(x),故③不正确.故选B.
6.已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,∠C=90°,则f的值为( )
A.- B. C.- D. 答案:A
解析:依题意,△ABC是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边AB上的高是,函数f(x)的最小正周期是2,故M==2,ω=π,f(x)=cos(πx+φ).又函数f(x)是奇函数,于是有φ=kπ+,其中k∈Z.由0<φ<π得φ=,故f(x)=-sin πx,f=-sin =-,选A. 二、填空题
7.已知f(x)=sin(ω>0),f=f且f(x)在区间内有最小值,无最大值,则ω= . 答案: 解析:∵f=f且f(x)在区间上有最小值,无最大值,
∴f(x)在x=处取得最小值. ∴ω+=2kπ-(k∈Z). ∴ω=8k-(k∈Z). ∵ω>0, ∴当k=1时,ω=8-;
当k=2时,ω=16-,此时函数在区间内已存在最大值.故ω=.
8.已知函数y=sin ωx(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,要得到函数y=sin的图象,则需将函数y=sin ωx的图象向 平移 个单位长度.
答案:左
解析:由图象知函数y=sin ωx的周期为T=3π-(-π)=4π,
∴ω=,
故y=sin x. 又y=sin=sin, ∴将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=sin的图象.
9.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π,且函数图象关于点对称,则函数的解析式为 . 答案:y=sin
解析:由题意知最小正周期T=π=,故ω=2.
又∵2×+φ=kπ(k∈Z), ∴φ=kπ+(k∈Z). 又∵0<φ<π,∴φ=, ∴y=sin.
10.已知ω>0,函数f(x)=sin上单调递减,则ω的取值范围是 . 答案:≤ω≤
解析:函数f(x)=sin的图象可看作是由函数y=sin x的图象先向左平移个单位得y=sin的图象,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到的,而函数y=sin上单调递减,所以要使函数f(x)=sin上单调递减,需满足解得≤ω≤. 11.给出下列命题:
①函数f(x)=4cos的一个对称中心为;
②已知函数f(x)=min{sin x,cos x},则f(x)的值域为;
③若α,β均为第一象限角,且α>β,则sin α>sin β. 其中所有真命题的序号是 . 答案:①②
解析:对于①,令x=-,则2x+=-=-,有f=0,因此为f(x)的对称中心,①为真命题;对于②,结合图象知f(x)的值域为;对于③,令α=390°,β=60°,有390°>60°,但sin 390°= 三、解答题 12.若把函数y=cos x-sin x+1的图象向右平移m(m>0)个单位长度,使点为其对称中心,求m的最小值. 解:y=cos x-sin x+1=2cos+1,把该函数图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数的解析式为y=2cos+1,由平移后为其对称中心得1=2cos+1, ∴cos=0, ∴-m=kπ+(k∈Z),解得m=-kπ+(k∈Z),故m的最小值是. 13.函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设α∈,f=2,求α的值. 解:(1)∵函数f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A=2, ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为, ∴最小正周期T=π,∴ω=2,∴f(x)=2sin+1. (2)∵f=2sin+1=2, 即sin, ∵0<α<,∴-<α-, ∴α-,∴α=. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示: (1)求ω,φ的值; (2)设g(x)=f(x)f,求函数g(x)的单调递增区间. 解:(1)由图可知T=4=π,ω==2,又由f=1,得sin(π+φ)=1,sin φ=-1.∵|φ|<π,∴φ=-. (2)由(1)知f(x)=sin=-cos 2x.∵g(x)=-cos 2x=cos 2xsin 2x=sin 4x,∴2kπ-≤4x≤2kπ+(k∈Z),即≤x≤(k∈Z). 故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 15.如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”,其中AB长为定值a,BD长可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”. (1)设∠DAB=θ,将y表示成θ的函数关系式. (2)当BE为多长时,y有最小值?最小值是多少? 解:(1)因为BD=atan θ, 所以△ABD的面积为a2tan θ. 设正方形BEFG的边长为t, 则由,得,解得t=, 则S2=, 所以S1=a2tan θ-S2=a2tan θ-, 则y=-1. (2)因为tan θ∈(0,+∞), 所以y=-1=≥1, 当且仅当tan θ=1时取等号,此时BE=t=. 所以当BE长为时,y有最小值1. 四、选做题 1.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,如果x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( ) A. B. C. D.1 答案:C 解析:由图可知T=2×=π,所以ω==2,令2×+φ=0得φ=,所以函数解析式为f(x)=sin,对于x1,x2∈,由于f(x1)=f(x2),故x1+x2=2×,故f(x1+x2)=f,选C. 2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为 . 答案:y=sin 解析:T=,得周期T=π,于是ω=2,由图象易知A=1,根据五点作图法有ω·+φ=,解得φ=,所以f(x)=sin,将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为y=sin=sin. 3.f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),x∈R的最大值是1,最小正周期是2π,其图象经过点M(0,1). (1)求f(x)的解析式; (2)设A,B,C为△ABC的三个内角,且f(A)=,f(B)=,求f(C)的值. 解:(1)因为函数f(x)的最大值是1,且A>0,所以A=1. 因为函数f(x)的最小正周期是2π,且ω>0,所以T==2π,解得ω=1. 所以f(x)=sin(x+φ).因为函数f(x)的图象经过点M(0,1), 所以sin φ=1. 因为0<φ<π,所以φ=. 所以f(x)=sin=cos x. (2)由(1)得f(x)=cos x, 所以f(A)=cos A=,f(B)=cos B=. 因为A,B∈(0,π),所以sin A=,sin B=. 因为A,B,C为△ABC的三个内角, 所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B). 所以f(C)=cos C=-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B)=-.
相关推荐：
loading