专题突破练(1) 函数的综合问题
一、选择题
??x＋x－2，x≤0，
1．函数f(x)＝?
?－1＋ln x，x>0?
2
的零点个数为( )
A．3 B．2 C．7 D．0 答案 B
??x≤0，
解析 解法一：由f(x)＝0得?2
?x＋x－2＝0，?
??x>0，
或?
?－1＋ln x＝0，?
解得x＝－2或x＝e． 因此函数f(x)共有2个零点． 解法二：函数f(x)的图象如图所示， 由图象知函数f(x)共有2个零点．故选B．
2．已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为( )
2x157A． B．1 C． D． 842答案 C
解析 由题意，得线段AB：y－1＝
5－1y(x－4)?y＝－2x＋9(2≤x≤4)，所以＝2－42xy－2x＋995y5
＝－1＋≤，当x＝2时等号成立，即的最大值为．故选C． 2x2x42x4
1
3．若变量x，y满足|x|－ln ＝0，则y关于x的函数图象大致是( )
y
答案 B
?e?x≥0?，11?
解析 由|x|－ln ＝0得y＝|x|＝?xye?e?x<0??
－x
画出图象可知选B．
4．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)－1，则f(－6)＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4 答案 C
解析 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．而在x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)－1，所以f(－6)＝－f(6)＝－[log2(2＋6)－1]＝－(log28－1)＝－2．故选C．
5．(2018·唐山模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(－2)＝0，则满足
xf(x)＞0的x的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，2) B．(－2，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2) 答案 A
解析 因为f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，又f(－2)＝0，所以f(2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f(x)＜0；在区间
??x>0，
(－2，2)上，f(x)＞0，所以xf(x)＞0等价于?
?f?x?>0?
??x<0，
和?
?f?x?<0，?
2
即得x<－2或0 选A． 6．(2018·广东潮州模拟)设函数f(x)＝，则使得f(x－2x)>f(3x－6)成立的x1＋|x| x的取值范围是( ) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(2，3) C．(－∞，2) D．(3，＋∞) 答案 A x1 解析 易得函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝＝1－为 1＋x1＋x单调增函数，故函数f(x)在R上为增函数，依题意得x－2x>3x－6，解得x<2或x>3．故选A． ??x＋2x，x≥0， 7．(2018·佛山质检一)已知函数f(x)＝?2 ?x－2x，x<0，? 2 2 则下列函数为奇函数的是( ) A．f(sinx) B．f(cosx) C．xf(sinx) D．xf(cosx) 答案 C 解析 易知f(x)为偶函数，即满足?x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立．研究g(x)＝xf(sinx)， 2 g(－x)＝－xf[sin(－x)]＝－xf(－sinx)＝－xf(sinx)＝－g(x)，故g(x)＝xf(sinx)为奇 函数．故选C． 8．(2019·青岛质检)已知a＞b＞1，则下列结论正确的是( ) A．a＜b B．aln b＞bln a C．aln a＞bln b D．a＜b 答案 C 解析 取a＝e，b＝e，则B项明显错误；对于D项，若a＜b成立，则ln a＜ln b，则bln a＜aln b，由B项错误得D项错误；因为a＞b＞1，所以ln a＞ln b＞0，由同向不等式相乘得aln a＞bln b，进一步得ln a＞ln b，所以a＞b，所以A项错误，C项正确．故选C． 1 ?x＋4?＋2018?x＋4?＝－4，??3 9．若x，y∈R，且满足?1 ?y－1?＋2018?y－1?＝4，??3 33 abbababaabab 则x＋y＝( ) A．－4 B．－3 C．3 D．4 答案 B 13 解析 函数f(t)＝t＋2018t(t∈R)是奇函数，且在R上是增函数，故若f(u)＋f(v) 3＝0，则必有u＋v＝0，本题中，u＝x＋4，v＝y－1，∴x＋4＋y－1＝0?x＋y＝－3．故选B． 10．(2018·长沙统考)函数f(x)＝2＋ xxx＋1 的图象大致为( ) 答案 A 解析 f(x)＝2＋＝2，v(x)＝－ xx1x＝2－＋1，其定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u(x)x＋1x＋1 x1 ．由于u(x)和v(x)都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以x＋1 f(x)在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上单调递增，排除C，D；又当x趋向负无穷时，2x趋 近于0，－ 1 趋近于0，所以f(x)接近于1，所以选A． x＋1 11．(2018·大庆质检一)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时， f′(x)<0．若a＝fln ，b＝fln －2，c＝f(e0．1)，则a，b，c的大小关系为( ) A．b 解析 依题意，有f(x)在[0，＋∞)上单调递减，而且f(x)是定义在R上的奇函数，则11 由其图象知f(x)在(－∞，0]上单调递减，从而奇函数f(x)在R上单调递减．则由ln －2 ee111111110．10．1 ＝ln 1－ eee2eee21110．1 的单调性，有fln －2>fln >f(e)，即c ee2 12．(2018·长沙统考)设平行于x轴的直线l分别与函数y＝2和y＝2 xxx＋1 1211ee 的图象相交 于点A，B，若函数y＝2的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l( ) A．不存在 B．有且只有一条 C．至少有两条 D．有无数条 答案 B
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