第13题函数的图像
I．题源探究·黄金母题
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【例1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为【试题来源】人教版A版必修1第23剩下的那个图象写出一件事．
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；
（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
页练习第2题
【母题评析】本题考查了函数的表示法之一—图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力，同时告诉了学生生活之中处处有数学，数学来源于生活又应用与生活。
【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
【解析】图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 【例2】函数r?f(p)的图象如图所示． （1）函数r?f(p)的定义域是什么？ （2）函数r?f(p)的值域是什么？
（3）r取何值时，只有唯一的p值与之对应？
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【试题来源】人教版A版必修1第25页习题1．2B组第1题
【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求
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法，加强学生对函数概念及函数三要素的理解，这对以后学习函数的性质
有很大的帮助。
【思路方法】函数图像解决函数问题
【解析】（1）函数r?f(p)的定义域是[?5,0][2,6)； （2）函数r?f(p)的值域是[0,??)；
（3）当r?5，或0?r?2时，只有唯一的p值与之对应． 【例3】函数f(x)?[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如
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【试题来源】人教版A版必修1第25页习题1．2B组第3题
析式，并作出函数的图象．
??3,?2.5?x??2??2,?2?x??1???1,?1?x?0?【解析】f(x)?[x]??0,0?x?1
?1,1?x?2??2,2?x?3?3,x?3?是强有力的工具，因此培养学生的读图、识图能力很重要。
[?3.5]??4，[2.1]?2．当x?(?2.5,3]时，写出函数f(x)的解
【母题评析】本题是一道信息给予题，通过定义新函数，考查了学生对分段函数概念的理解及函数解析式的求法，同时培养学生阅读能力和理解能力。
【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试
题常常采用的命题形式。
图象如下
【例4】画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y?f(x)的单调区间，以及在各单调区间上函数y?f(x)是增函数还是减函数．
（1）y?x?5x?6；（2）y?9?x．
22精彩解读
【试题来源】人教版A版必修1第39页习题1．3A组第1题
【母题评析】本题以画图的方式让学生去寻找函数的单调区间，培养学生
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【解析】（1）函数在(??,)上递减；函数在[,??)上递增；
5252的作图、读图、识图的能力，。 【思路方法】利用函数图像求函数的单调区间是一种常用的方法，数形结合思想是高中数学中主要的解题思
想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的
（2）函数在(??,0)上递增；函数在[0,??)上递减．
命题形式。
【例5】出函数y?log3x及y?log1x的图象，并且说明这两个
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【试题来源】人教版A版必修1第73页练习第1题 【母题评析】本题以
函数的相同点和不同点，如右图所示．
【解析】画出函数y?log3x及y?log1x的图象，如下图所示：
3y?log3x和
y?log1x3的图像为载体，让同学们
再次认识对数函数0?a?1,a?1图像的异同，加强学生对对数函数图像
相同点：图象都在y轴的右侧，都过点(1,0)
不同点：y?log3x的图象是上升的，y?log1x的图象是下降的
3的认识。
【思路方法】利用图像解决函数的问题，形象直观，过程简练，语言简洁。
关系：y?log3x和y?log1x的图象是关于x轴对称的．
3【例6】利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：
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（1）-x+3x+5=0；（2）2x(x-2)=-3；（3）x=4x-4；（4）5x+2x=3x+5 【试题来源】人教版A版必修1第88【解析】（1）令f(x)=-x+3x+5，作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（1）)，它与x轴有两个交点，所以方程-x+3x+5=0有两个不相等的实数根．
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页练习第1题
【母题评析】本题以通过图像然学生去探究方程根的分布情况，意在培养
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（2）2x(x-2)=-3可化为2x-4x+3=0，令f(x)=2x-4x+3， 作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（2）)，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根．
（3）x=4x-4可化为x-4x+4=0，令f(x)=x-4x+4，作出函数f(x)
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学生的数形结合思想，同时也渗透了函数与方程思想。
【思路方法】本题为研究方程根的分布指明了方向，即转化为判断函数图
的图象(图3-1-2-7（3）)，它与x轴只有一个交点(相切)，所以像与x轴交点个数问题。 方程x=4x-4有两个相等的实数根．
（4）5x+2x=3x+5可化为2x+2x-5=0，令f(x)=2x+2x-5，作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（4）)，它与x轴有两个交点，所以方程5x+2x=3x+5有两个不相等的实数根．
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【例7】设函数f(x)??x?3x?2，若g(x)?2?[f(x)]， （1）求g(x)的解析式；
（2）借助计算机或计算器，画出函数g(x)的图像；（3）求出函数
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【试题来源】人教版A版必修1第93页习题3．1B组第3题
【母题评析】本题是一道求复合函数解析式与函数零点相结合的问题，同
g(x)的零点（精确度0．1）．
【解析】（1）由题设有
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g(x)=2-［f(x)］
时考查了如何利用零点分段法去求函数的零点。
【思路方法】本题为研究函数的零点指明了方向，即转化为判断函数图像与x轴交点个数问题。解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有：①定
=2-(x+3x+2)=-x-6x-13x-12x-2．
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（2）函数图象如下图所示．
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性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函
图3-1-2-10
（3）由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点．取区间(-3，-2)的中点x1=-2．5，用计算器可算得g(-2．5)=0．187 5．因为g(-3)·g(-2．5)<0，所以x0∈(-3，-2．5)．再取(-3，-2．5)的中点x2=-2．75，用计算器可算得
数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围； 【命题意图】识别辨析函数的图象，
g(-2．75)≈0．28．因为g(-3)·g(-2．75)<0，所以x0∈(-3，-2．75)．
同理，可得x0∈(-2．875，-2．75)，x0∈(-2．812 5，-2．75)． 由于|-2．75-(-2．812 5)|=0．062 5<0．1，所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2．812 5．同样可求得函数在区间(-1，0)内的零点约为-0．2．
所以函数g(x)精确到0．1的零点约为-2．8或-0．2． II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标I卷】函数y?致为（）
sin2x主要观察的部分图像大实质就是分析函数的性质，
1?cosx以下几点： ①函数的定义域；
②函数图象的最高点(最大值)和最低点(最小值)；
③与坐标轴的交点（即f(x)?0或
x?0的点）；
④图象的对称性(函数的奇偶性)； ⑤函数图象在某段上的变化趋势(即
A． B．C．D． 【答案】C
【解析】由题意知，函数y?函数的单调性)；
⑥图象的变化规律(即函数的周期
sin2x为奇函数，故排除B；当x??1?cosx性)；
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