初一数学竞赛讲座
解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6
当x??当?1时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2 21?x?3时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4 2当3?x?6时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10
当x≥6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2
当x??1??2x?2，2时? 当?1时?2x?4，2?x?3∴原式=? 当3?x?6时?10，? 当x?6时?2x-2，评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。 例2 已知
2x?15?3x?1?x?，求x?1?x?3的最大值和最小值。(第六届迎春杯决赛试题) 322x?15?3x7 得： x? ?1?x?3211分析：先解不等式，求出x的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。 解：解不等式
-3 0 7 111 x?1?x?3的几何意义是x到1的距离与x到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x≤-3时这差取得最大值4，因x?773，则当x?时这差取得最小值?3. 111111评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。
2、本题求得x的范围后，也可用零点分段法将x?1?x?3化简，然后求出最大值和最小值。
当x??3时 ??1?x?x?3?4，7 x?1?x?3=?1?x?x?3??2?2x，当?3?x??11?73由上式可以看出：当x≤-3时取得最大值4，当x?时取得最小值?3
1111
例3 解方程 x?x?3.1415926 ? y?11?2y?7.13 ?0 8(第六届华杯赛决赛初一试题)
分析：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0。 解：由原方程得
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?x?x?3.1415926?0 (1)? ? 11y??2y?7.13?0 ( 2 ) ?8? 由(1)得：x?x?3.1415926
从而 x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963 由(2)得：y?11?2y?7.13 81111?2y?7.13 或y??7.13?y 8817011151 所以 y= 或 y=
200600?.5707963x?1.5707963??x?1?1701 于是，原方程的解是 ? ?y?1151 y? ??200600?? 从而 y?评注：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0是解题中常用的一个结论。本题中，求
x?x?3.1415926中的x值也可以用绝对值的几何意义来解，x?x?3.1415926表示x到原
点与到3.1415926的距离相等，因而x是原点与点3.1415926连结线段的中点，即x=1.5707963
例4 有理数a,b,c均不为0，且a?b?c?0.设x?||a||b||c|??|,试求代数式b?cc?aa?bx19?99x?2000之值。(第11届希望杯培训题)
分析：要求代数式x19?99x?2000的值，必须求出x的值。根据 x的特征和已知条件，分析a
与b+c,b与a+c，c与a+b的关系，从而求出x的值。 解：由a,b,c均不为0，知b?c,c?a,a?b均不为0．
∵a?b?c?0. ∴a??(b?c),b??(c?a),c??(a?b).
abc??1,??1,??1, b?cc?aa?b又a,b,c中不能全同号，故必一正二负或一负二正．
|a||b||c|所以中必有两个同号，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋,,b?cc?aa?b即 1． ∴
|a||b||c||a||b||c|????1, ∴ x???b?cc?aa?bb?cc?aa?b19因此，x?99x?2000?1?99?2000?1902.
?1.
例5已知a、b、c为实数，且(第8届希望杯试题)
ab1bc1ca1abc?，?，?，求的值。 a?b3b?c4c?a5ab?bc?ca 17 / 81
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分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。 解：由已知条件可知a≠0，b≠0，c≠0，对已知三式取倒数得：
111111??3， ??4， ? ?5 abbcca111 三式相加除以2得：???6
abcab?bc?ca111abc1 因为= ????6，所以
abcabcab?bc?ca6
例6 求方程x?2?x?3?1的实数解的个数。(1991年祖冲之杯数学邀请赛试题) 分析：1可以化成：?x?2???x?3?，于是x?2?x?3??x?2???x?3?
由绝对值的性质：若ab≤0，则a?b?a?b可得(x-2) (x-3)≤0 从而求得x 解：原方程可化为：x?2?x?3??x?2???x?3?
则 (x-2) (x-3)≤0，所以??x?2?0?x?2?0，所以2≤x≤3 或?x?3?0x?3?0?? 因此原方程有无数多个解。
评注：本题很巧妙地将“1”代换成?x?2???x?3?，然后可利用绝对值的性质来解题。在解数学竞赛题时，常常要用到“1”的代换。
例7 求关于x的方程 x?2?1?a?0 (0?a?1)的所有解的和。
解：由原方程得 x?2?1?a，∴x?2?1??a
∵0 ∴x1+x2+x3+x4=8，即原方程所有解的和为8 xx2?a，且a?0，求4的值。 例8 已知：2x?x?1x?x2?1分析：直接求值有困难，但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生x?理来求值。 11，通过将x?整体处xxxx2?x?11?a，且a?0，?? 解：∵2xax?x?1 18 / 81 初一数学竞赛讲座 即x?1?11111?a ? x???1?xaxaa22x4?x2?11?1?1?2a?1?a?2 而 ?x?1??x??1??1?????2x?ax2x2?a??x2a2? ∴4 2x?x?11?2a评注：本题通过将x? 1整体处理来解决问题，整体处理思想是一种常用的数学思想。 x?2z2?x?21?z?2x2?例9 解方程组?y? (1984年江苏省苏州市初中数学竞赛试题) 21?x?2?z?2y?1?y2?解：观察得，x=y=z=0为方程组的一组解。当xyz≠0时，将原方程组各方程两边取倒数得： ?21 (1)??1?2 xz? 2221111?2 ??1?2 (2) (1)+(2)+(3)得：???3?2?2?2 xyzzxyx?y ?2?1?1 (3)2?zy? 111222?1??1??1? ∴2?2?2????3???1????1????1??0 ??xyzxyz?x??y??z? ∴ 222111?1??1??1?0 ∴x=y=z=1 xyz?x?0?x?1?? 故原方程组的解为：?y?0 或 ?y?1 ?z?0?z?1??评注：本题在对方程组中的方程两边取倒数时，不能忘了x=y=z=0这组解。否则就会产生漏解。 11、 巩固练习 选择题 1、若a2?1，则a的值是( )A、1 B、-1 C、1或-1 D、以上都不对 a2、方程x?2?x?3?1的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题) 19 / 81 初一数学竞赛讲座 A、0 B、1 C、2 D、3 E、多于3个 3、下面有4个命题： ①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。 ②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。 ③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。 ④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。 其中正确的命题是：（ ）（A）①和② （B）②和③ （C）③和④ （D）④和① 4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( ) A、 94498645 B、 C、 D、 499445865、设y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c为常数)，已知当x=7时，y=7，则x= -7时，y的值等于( ) A、-7 B、-17 C、17 D、不确定 6、若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是( ) A、-1 B、0 C、1 D、-5 填空题 7、设a<0，且x≤ a, 则 x?1?x?2= a8、a、b是数轴上两个点，且满足a≤b。点x到a的距离是x到b的距离的2倍，则x= 9、 若a?6与?m?3?互为相反数，则a2m? 10、计算： 1111?????? 1?21?2?31?2?31?2?3???10011、若a是有理数，则(?a)?|a|?|?a|?(?|a|)的最小值是＿＿＿. 12、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简 |a?b|?|b?1|?|a?c|?|1?c|?_____. 解答题 13、化简：x?5?2x?3 ?1??1?14、已知?2a?1??b?1?0，求??????a??b?222002 15、若abc≠0，求 abc??的所有可能的值 abc16、X是有理数，求x?10095?x?的最小值。 22122117、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，求a+b+x 2-cdx的值。 18、求满足ab?a?b?1的所有整数对(a，b). 19、若2x?4?5x?1?3x?6的值恒为常数，求x的取值范围及此常数的值。 20 / 81
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