高中数学复习提升专题03 解三角形中的最值、范围问题(原卷版)

专题03 解三角形中的最值、范围问题

高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕解三角形中的最值、范围问题精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.

【热点难点突破】

例1.【2018年江苏卷】在D，且

，则

中，角

所对的边分别为

，

，

的平分线交

于点

的最小值为________．

的面积为

,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范

例2.【2018年文北京卷】若围是_________. 例3.锐角

的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.

（1）求角的大小； （2）若

，求

周长的最大值.

2例4. 在?ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a?2，2cos（1）若满足条件的?ABC有且只有一个，求b的取值范围； （2）当?ABC的周长取最大值时，求b的值.

例5. 【2016年北京卷】在?ABC中，a?c?b?2ac. （1）求?B 的大小；

（2）求2cosA?cosC 的最大值.

222B?C4?sinA?. 25例6. 如图，有一码头P和三个岛屿A,B,C， PC?303nmile,PB?90nmile,AB?30nmile，

?PCB?1200， ?ABC?900.

（1）求B,C两个岛屿间的距离；

（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.

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【方法总结】

1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

3.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则

A为锐角 A为钝角或直角 图形 a＝bsin A b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 bsin A＜a＜关系式 a＜bsin A a≥b a＞b a≤b 4．在△ABC中有如下结论sin A＞sin B?a＞b.

5.已知三边如(a、b、c），由余弦定理求A、B，再由A?B?C?180求角C，在有解时只有一解. 已知两边和夹角如(a、b、C），余弦定理求出对对边.

5．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形； 当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．

【精选精练】

1. ?ABC各角的对应边分别为a,b,c，满足A．(0,

bc??1，则角A的范围是（ ） a?ca?b?] B．(0,] C．[,?) D．[,?) 3636???2.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求?ACB?60?， BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（ ）

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?3?A. ?1?米 B. 2米 C. 1?3米 D. 2?3米 ???2??????3.在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2?c2?a2?bc，ABBC?0，a?b+c的取值范围是（ ）

3， 则2?33??3??13??13?A. ?1,? B.? C.?,? D.?,? ,??22??22??2??22???4.在?ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2?b2?c2?bc，a=3，S为?ABC的面积，则S?3cosBcosC的最大值为（ ）

（A）1 （B）3?1 （C）3 （D）3 5.已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边，其面积满足S?ABC?A.

12ca，则的最大值为（ ） 4b2?1 B. 2 C. 2?1 D. 2?2

3c，则ab26.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2ccosB?2a?b，若?ABC的面积为S?的最小值为__________．

7.在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 . 8. 在

中，内角

的对边分别为

，且满足

，为锐角，则

的取值范

围为__________．

9.在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m??cosA,cosB?，n??a,2c?b?，且

m//n．

（1）求角A的大小；

（2）若a?4，求?ABC面积的最大值．

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