（名师导学）2020版高考数学总复习 坐标系练习理（含解析）新人教A版选修4 - 4

1

＝. 2ππ??sinsin?－θ?3?3?

2π3?π?即ρsin?－θ?＝sin＝，

32?3?

3?π?∴直线l的极坐标方程为ρsin?－θ?＝.

?3?2(2)作OH⊥l，垂足为H，

ππ

在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，

23π3

则OH＝OAsin＝，

32即极点到该直线的距离等于

3

. 2

ρ??x＝2＋2cos φ，

3．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(φ为参数)．以原点

?y＝2sin φ?

O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝42，求实数α的值．

??x＝2＋2cos φ，22

【解析】(1)由?消去参数φ可得C1的普通方程为(x－2)＋y＝4，

?y＝2sin φ?

∵ρ＝4sin θ，∴ρ＝4ρsin θ，

??x＝ρcos θ22

由?，得曲线C2的直角坐标方程为x＋(y－2)＝4. ?y＝ρsin θ?

2

(2)由(1)得曲线C1：(x－2)＋y＝4，其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，

22

17

则|AB|＝|ρ1－ρ2|＝4|sin α－cos α| π????＝42?sin?α－??＝42， 4????π??∴sin?α－?＝±1， 4??

ππ3π

∴α－＝＋kπ(k∈Z)，∵0<α<π，∴α＝.

424

4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝

2

24

，直线l的极坐标方程为ρ＝. 2

1＋sinθ2sin θ＋cos θ(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；

(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值． 【解析】(1)C1：x＋2y＝2，l：2y＋x＝4. (2)设Q(2cos θ，sin θ)，则点Q到直线l的距离

2

2

d＝?2sin?θ＋π?－4?

???4?|2sin θ＋2cos θ－4|????

3

＝

3

≥23

＝23

， 3

ππ

当且仅当θ＋＝2kπ＋，

42π

即θ＝2kπ＋(k∈Z)时，

4

Q点到直线l距离的最小值为

23

. 3

18

19