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解 (1)
?π2?1f(x)dx＝?0－1x2dx＋
?π20(cosx?1)dx,
?1?
又因为?x3?′＝x2，(sin x－x)′＝cos x－1，
?3?
1?2|0x3?0所以原式＝－1＋(sin x－x)
3?
π?1??ππ?
＝?0＋?＋?sin－?－(sin 0－0) ?3??22?
4π＝－. 32(2)?21|3－2x|dx
??(3?2x)dx??3(2x?3)dx12322
32＝(3x－x2)1|1
＋(x－3x)＝. 2
2
|232反思与感悟 分段函数定积分的求法
(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． 跟踪训练2(1)?1－1e|x|dx＝________. 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 2e－2 解析 ?1－1e|x|dx ＝?0－1e－xdx＋?10exdx ＝－e－x|0－1＋ex|10 ＝－e0＋e1＋e1－e0 ＝2e－2.
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2x＋ex，0≤x≤1，??
(2)已知f(x)＝?1
x－，1 求?20f(x)dx. 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解 ?20f(x)dx ?1? ＝?10(2x＋e)dx＋?21?x－?dx ?x? x ?1?? ＝(x＋e)|10＋?x2－ln x??21 2??? 2 x ?1??1? ＝(1＋e)－(0＋e)＋?×22－ln 2?－?×1－ln 1? ?2??2? 0 3 ＝e＋－ln 2. 2 类型二 利用定积分求参数 例3(1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若?0tf(x)dx＝6，则t＝________. (2)已知2≤?21(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 ?2?答案 (1)3(2)?，2? ?3? 解析 (1)?t0f(x)dx＝?t0(2x－1)dx＝t2－t＝6， 解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3. ?1??3(2)?21(kx＋1)dx＝?kx2＋x??21＝k＋1. 2???2 32 由2≤k＋1≤4，得≤k≤2. 23引申探究 精选中小学试题、试卷、教案资料 ?t? 1．若将例3(1)中的条件改为?t0f(x)dx＝f ??，求t. ?2? 解 由?t0f(x)dx＝?t0(2x－1)dx＝t2－t， ?t? 又f ??＝t－1，∴t2－t＝t－1，得t＝1. ?2? 2．若将例3(1)中的条件改为?t0f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值． ?1?1解 F(t)＝?t0f(x)dx＝t－t＝?t－?2－(t>0)， ?2?4 2 11当t＝时，F(t)min＝－. 24 反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提． (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念． 跟踪训练3(1)已知x∈(0,1]，f(x)＝?10(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________． (2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若?10f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)[0,2)(2)33 解析 (1)f(x)＝?10(1－2x＋2t)dt ＝(t－2xt＋t2)|10＝－2x＋2(x∈(0,1])． ∴f(x)的值域为[0,2)． (2)∵?10f(x)dx＝?10(ax2＋c)dx ?1??a＝?ax3＋cx??10＝＋c. 3???3 又f(x0)＝ax20＋c， a 3 3 ∴＝ax20，即x0＝或－. 333 精选中小学试题、试卷、教案资料 ∵0≤x0≤1，∴x0＝ 33 . ?1?1．若?a1?2x＋?dx＝3＋ln 2，则a的值是() x?? A．5 B．4 C．3 D．2 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 D ?1?1??2x＋解析 ?a1dx＝?a12xdx＋?a1dx xx?? ＝x2|a1＋ln x|a1＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2， 解得a＝2. 2． ?π30(1?2sin2)d?2等于() 3 ?113 A．－ B．－ C. D. 2222考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D 解析 π3?π30(1?2sin2)d?2 ＝sin θ＝ ?=?cos?d?0|π3032 . ??x2，0≤x≤1， 3．设f(x)＝?则?20f(x)dx等于() ?2－x，1 34 A.B. 45
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