本章优化总结
[学生用书P82]
“黄金代换”的应用[学生用书P83]
Mm
1．“黄金代换”：G2＝mg0(即GM＝g0R20)． R0
解答天体运动与卫星绕行问题时，必须运用万有引力定律和牛顿第二定律以及匀速圆周运动的规律．解题过程中，常常存在着待求的物理量的表述是采用“G和M”的形式，还Mm
是采用“g0与R0”的形式的选择问题，此时就必须运用G2＝mg0(即GM＝g0R20)的“黄金R0代换”关系予以等效替代．对地球而言，引力常量G、地球半径R0、地球表面重力加速度g0、地球的质量M尽管均是定值，然而也只有题目给定后才可作为已知条件使用；若题目中并未给出，则不要轻易作为已知量使用．一般说来，这要依据题意而定取舍．
2．“黄金代换”成立的情形 对于G
Mm
＝mg0(即GM＝g0R20)，绝对不可以理解为只要在地球表面上此关系就能成R20
立．此“黄金代换”关系成立的情形有三种：
(1)对于地球两极上的物体恒成立．处在地球两极上的物体，由于没有随地球自转而做
Mm
匀速圆周运动，地球对物体的万有引力即等于物体的重力．故G2＝mg0，即GM＝g0R20. R0
(2)如果忽略地球的自转效应，“黄金代换”关系对于地球上任意位置的物体也必成立．这是因为同一个物体随地球自转所需要的向心力与其自身重力相比小得多，可近似认为G
MmMm
＝mg.当然，如果要计算地球某纬度处的物体随地球自转所需要的向心力时，G＝0R2R200
mg0就不再成立．
(3)对于以第一宇宙速度(v＝7.9 km/s)运行的人造地球卫星也成立．对该人造地球卫星，Mm由万有引力定律可得G＝mg，由于该卫星距离地面的高度h?R0，所以R0＋h≈R0，
（R0＋h）2Mm
则在高为h处的重力加速度为g≈g0，故对该卫星而言，可以把G＝mg近似视为
（R0＋h）2Mm
G2＝mg0，即GM＝g0R20. R0
如图所示，磁悬浮列车以大小为v的速度沿赤道高速向东行驶，某时刻人造地
球卫星A正好经过磁悬浮列车的正上方，运动方向与磁悬浮列车的运动方向相同，列车行驶路程s后，卫星A又一次通过列车的正上方．已知地球的半径为R，自转周期为T0，地球表面的重力加速度为g，求卫星A离地面的高度h.
[解析] 设卫星A的质量为m，角速度为ω，地球质量为M，磁悬浮列车质量为m′，在列车行驶路程s的时间t＝
s?2π＋v?t＋2π. 内，卫星A转过的弧度应为φ＝ωt＝v?T0R?Mm
对于卫星A，由万有引力提供向心力，得G＝mω2(R＋h) 2
（R＋h）Mm′
在地面上物体m′的重力近似等于万有引力，有m′g＝G2
R联立以上各式解得h＝
3
gR22－R. v2πv2π?＋＋??T0Rs?[答案]
3
gR22－R.
?2π＋v＋2πv??T0Rs?
1.(多选)在圆轨道上质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于
地球的半径R，地球表面的重力加速度为g，则( )
A．卫星运动的线速度为2Rg B．卫星运动的周期为4π1
C．卫星的向心加速度为g
21
D．卫星的角速度为
2
g 2R2R g
解析：选BD.万有引力提供向心力，有 v2Mm
G＝m，
2R（R＋R）2GM
又g＝2，故v＝
R
GM
＝2R
gR
，选项A错误． 2
2π×2R4πR2T＝v＝＝4π
gR
2R
，选项B正确． g
v2v2g
a＝＝＝，选项C错误．
r2R42π1ω＝＝
T2
g
，选项D正确. 2R
卫星的稳定运行和变轨运行问题[学生用书P84]
1．卫星的稳定运行问题
卫星在轨道上做匀速圆周运动，则卫星受到的万有引力全部提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力．
根据万有引力定律、牛顿第二定律和向心力公式得
??v?v＝ m?rMm
G＝??rmωr?ω＝
4π??mrT??T＝ ma
2
2
222
GM
a＝2（r越大，a越小）
r
GM（r越大，v越小）r
GM（r越大，ω越小）r3
4π2r3（r越大，T越大）GM
由以上分析可以看出，人造卫星的轨道半径r越大，运行得越慢(即v、ω越小，T越大)． 2．卫星的变轨运行问题
卫星的变轨问题应结合离心运动和向心运动去分析，因为卫星在变轨过程中不满足稳定运行的条件F万＝F向，而在原轨道上因速度减小做向心运动，或因速度增大做离心运动，但
是一旦变轨成功后卫星又要稳定运行，这时满足F′万＝F′向．
(1)变轨过程
以人造地球卫星的发射过程为例，分析如下．
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示． ①为了节省能量，在赤道上沿着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
②在A点点火加速，由于卫星速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
③在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. (2)三个运行物理量的大小比较
①速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点的速率分别为vA、vB.在A点点火加速，则vA>v1，在B点点火加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
②加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，只与卫星距地球球心的距离有关，同理，在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同．
③周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r3
r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律2＝k可知T1 T 如图所示，A、B、C是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星，下列 说法正确的是( ) A．B、C的线速度大小相等，且大于A的线速度 B．B、C的向心加速度大小相等，且大于A的向心加速度 C．C加速可追上同一轨道上的B，B减速可等到同一轨道上的C D．A由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大 [解析] 因为B、C在同一轨道上运行，所以它们的线速度大小、向心加速度大小均相等，又B、C轨道的半径大于A轨道的半径，由v＝ GM知，vB＝vC
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